Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Опр.:Ур-ие вида y’=f(x) g(y) наз-ся диф-ым ур-ем с разделяющимися переменны-ми, где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ии. Чтобы решить такое ур-ие нужно разде-лить переменные, т.е. в левой части соб-рать все y, в правой – x. Для этого: 1. за-менить y’ на dy/dx; 2. умножить обе части на dx и разделить обе части на g(y) (g(y)¹0)

1) dy/dx = f(x)·g(y); ò dy/ g(y) + C₁= ò f(x)dx + C₂

2) dy/g(y) = f(x)dx; ò dy/g (y) = ò f(x)dx + C₂-C₁ (C₂-C₁=C).

Однородные ур-ия. Опр.:Ур-ие y’= f(x, y) наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) м. б. представлена как ф-я отношения своих аргументов. Схема решения: 1). обозначить y/x=U, y=Ux; 2). y’=U’x+U; 3) подставить y и y’ в данное ур-ие, решить его относительно ф-ии U; 4) сделать обратную замену, т.е. U выразить через x и y.

39. Лин. однородные диф. ур. второго порядка с пост. коэф. Однород.ур-я.(ОУ)

Опр. Линейн.ОУ диф-ные ур-я 2 порядка, с пост.коэф.наз-я ур-е вида

Опр.характеристич.ур-ем соответствующим ур-ю (1), наз-ся ур-е вида:

Т1: Пусть k0-корень хар-рного ур-я(2), кот соотв. Ур-ю (1). Тогда ф-ция

Д-во: имеем +pk0+q=0, подставляем +pk0+q)=0

Т2:Пусть к1,к2-корни хар-ного ур-я(2)

Возможны случаи:

1.Если к1,к2 и к1 к2, тогда общ.реш-е ур-я (1)выглядит след. Образом:

2. к1,к2 , к1=к2=к. Общее реш-е ур-я(1):

Док-во:

3.Если к1 и к2- комплексные, тогда к1 и к2-сопряженные: к1= (c1