Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод подстановки.

Опр:Ур-е вида y’+p(x)=f(x) (1), где p(x) и f(x)- непрерыв.ф-ции,наз-ся линейн.диф-ное ур-е 1-го порядка. Если f(x) , то (1)-наз. Однородное линейное ур-е, если же f(x)≠0, то (1)-неоднород.линейн. ур-е

Методы реш-й:

1. Метод вариации произвольной постоянной

а)Рассм. Соот-щее ур-ю (1) однородное лин.ур-е

y’+p(x)y=0; ln|y|= y=

б) Рассм. Вместо const неизв. Ф-цию z(x)

=z(x); y=z z’- =f(x) y=(

2.Метод подстановки

Определим y=uv,где u,v- неизвестный ф-ции, найдем реш-е в виде произведения u*v

(uv)’+ p(x)uv=f(x) (2)

U’v+uv’+ p(x)uv=f(x); U’v+u(v’+ p(x)v)=f(x).Потребуем, чтобы содержимое скобки =0. u’ =f(x);

Du=f(x)

Билет 25.Производные функции двух переменных. Дифференцируемость. Дифференциал функции.

производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной:

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy. Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Опр. Пусть f(xy) – диф-ма в нек.т М - диф-ал ф-ции и обоз-ся dz. Dz=f’x(xy) +f’y(xy) . Предположим z=x. dz=dx= . z=y: dz=dy= => dz=f’x(xy)dx+d’y(xy)dy.

Билет 27.Производные сложных функций нескольких переменных.

Т. Пусть ф-ции x=x(t) и y=y(t) – диф-мы в т.t, а ф-ция z=f(xy) – диф-ма в т М. Тогда слож.ф-ция f(x(t),y(t)) диф-ма в т.t, причем

Билет 31. Двойные интегралы. Определение и существование двойного интеграла.

Пусть G – нек. Ограничен.и замкнут. обл. и f(xy) – нек.ф-ция, опред-я в обл. G. Разобьем обл g на n произвольных частей, не имеющих общих внутр. Точек. Площади частей G1,G2,…Gn обозначим [Пусть G-нек. Обл. Диаметром обл-ти наз-ся макс расстояние м/д граничными точками облG и обозн. d(G)] на каждой части Gi зафикс. Произвольн.образом точку (

Билет26. Необходимое условие дифти ф-ции 2хпеременных

Теорема. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Достат.условие диф-ти: Теор. Пусть ф-ция f(xy) имеет частн производ-е в нек окр-ти т М, причем дан производ непрерывны в М. Тогда f(xy) диф-ма в дан.точке.