Читайте также:
|
|
Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.
7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:
Число называется собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору .
Можно записать в матричной форме:
, где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:
или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .
Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .
Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:
или , или , откуда находим: , или
, или .
Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
Аналогично, вектор .
Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 18 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |