Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, ().

В соответствии с обратной матрицей , где - матрица, присоединенная к матрице . Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к , то запишем равенство в развернутой форме:

.

Учитывая, что , получим после умножения матриц:

, откуда следует, что для любого .

На основании свойства 9 определителей , где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно .

Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Р е ш е н и е. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:

.

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.

. Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.

Выразим базисные переменные через свободные.

Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :

, .

Из первой строки выразим : ,

.

Общее решение системы уравнений: , .