Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:

.

Это предел функции обозначается: или при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .

Пусть при , .

Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:

(1.1)

или

Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:

, то из неравенств (1.1) следует, что , т.е.:

.

А это и означает, что