Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка (12.3) называется неполным, если оно не содержит в явном виде искомой функции или независимой переменной :

1. (не содержит ) (12.4.1)

Решение: , , откуда .

2. (не содержит ) (12.4.2)

Решение: Удобно искать в виде . т.к. , то ур-е можно записать: , откуда .

Пример. а) .

б) , .

2) Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

, (12.5.1)

или в виде . (12.5.2)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.

(12.5.1)Решение: или

(12.4.2)

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделяя переменные, имеем . Проинтегрируем левую и правую часть равенства . Далее имеем .

, Окончательно имеем .

Уравнения вида , где и - некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).

Пример. Решить уравнение .

Решение: Пусть , тогда , откуда , или . Выразим : , и .

Интегрируем: , или , следовательно .

Возвращаемся к первоначальным переменным: или , где .