Читайте также:
|
в начальной школе.
Основная задача школьного учебного предмета по математике состоит в том, чтобы привести учащихся «к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа». Основы этой концепций должны усваиваться детьми уже в начальной школе. Это означает, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием, по мнению В.В. Давыдова, является усвоение детьми математического понятия величины. Знакомство детей с многообразием чисел, рассматриваемых в концепции действительного числа, является важным путем конкретизации понятия величины.
Усвоение детьми основной идеи концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения ее общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены на основе овладения детьми способами конкретизации этих свойств. В таком случае идея действительного числа будет «присутствовать» в обучении математике с самого его начала.
Понятие величины связано с отношениями «равно», «больше», «меньше». Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие определить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. Вкачестве примера математической величины В Ф. Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину.
Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т. д. (еще до их выражения числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в I классе.
В основу экспериментального обучения математике (так же как и в основу принятого курса) положена концепция действительного числа. Однако в отличие от обычной программы в экспериментальном обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.
Этот подход к проблеме построения экспериментального учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач, составленных применительно к младшим классам:
1) введение школьников в сферу отношений величин - формирование у них абстрактного понятия математической величины;
2) раскрытие учащимся кратного отношения величин как общей формы числа - формирование у них абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);
3) последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) - формирование у школьников понятий об этих числах как одного из проявлений общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;
4) раскрытие учащимся однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов операции, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемента) - формирование у них понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.
Дадим краткую характеристику содержания перечисленных учебных задач. Так, первая задача требует от учащихся выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов («равно», «больше», «меньше»). Затем эти отношения младшие школьники фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде». Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), ученики в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.
Содержанием второй учебной задачи является овладение школьниками общей формой числа. Это осуществляется посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая - в качестве ее меры (при их выполнении школьники выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения).
При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от школьников использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании школьниками этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной системе, если это отношение будет десятикратным. Так в I классе вводится понятие многозначного числа.
Однако в некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к ее укрупнению (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяют им при выполнении действия измерения обозначать его результаты с помощью положительного или отрицательного числа.
Переход учащихся от изучения общих свойств величины к выделению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, позиционного, дробного, отрицательного и т. д.), - это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем от этой линии осуществляются многообразные ответвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяемых отношений могут служить основой для построения новых понятий. Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения и изучения его свойств к выведению возможных частных следствий.
При решении первоклассниками учебной задачи, приводящей их к пониманию взаимосвязи элементов арифметических действий сложения и вычитания, дети сначала знакомятся с соответствующими операциями над величинами, фиксируя их пространственно-графическими схемами и буквенными формулами. Затем при построении отрезков ученики выясняют такое свойство операции, как однозначность ее структуры, что приводит к следующему следствию: если известны значения двух элементов операции, то по ним всегда и однозначно можно определить значение третьего элемента. Это позволяет построить на основе заданного равенства несколько видов уравнений (школьники устанавливают, что количество таких уравнений равно количеству элементов, включенных в равенство, - х + а = с,
с - х = а, с – а = х). По этим уравнениям какую-либо сюжетную исходную текстовую ситуацию школьники преобразуют в соответствующее количество так называемых текстовых задач.
Текстовые задачи строятся школьниками как частные случаи выражения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в I классе появляются простые задачи на сложение - вычитание, а во II - на умножение - деление. Составные задачи (которые требуют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во II классе из простых задач при замене буквы, обозначающей известное данное, буквенным выражением, описывающим операции дополнительного поиска значения этого данного.
Формированию у школьников умения анализировать составные текстовые задачи основное внимание уделяется в III классе. При этом учащиеся овладевают способами построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается). Введение в III классе отрицательных чисел позволяет учащимся применять алгебраический способ решения задач (на основе построения уравнений с проведением последующих тождественных преобразований).
Формирование умений и навыков различных вычислений происходит на основе предварительного усвоения детьми общих закономерностей и свойств тех или иных арифметических действий. В общем виде школьники предварительно рассматривают возможность их использования при вычислениях разного рода и только затем приступают к выполнению конкретных заданий на вычисления. Усвоение детьми вычислительных приемов происходит с помощью тренировочных листов, которые построены таким образом, что сначала требуют от учащихся полного, развернутого выполнения всех операций вычислительного приема, а затем обеспечивают постепенное свертывание вычислений и непроизвольное запоминание их табличных случаев.
Экспериментальная программа по математике включает изучение элементов геометрии. Когда это возможно, геометрический материал связывается с изучением чисел и арифметических действий. Например, задача на нахождение периметра прямоугольника рассматривается в связи с изучением распределительного свойства умножения относительно суммы (II класс). На уроках проводятся собственно геометрические упражнения. На основе вычерчивания, вырезывания, моделирования дети учатся распознавать геометрические фигуры, знакомятся с их свойствами. В I классе они получают представление об углах (прямом и непрямом), прямоугольнике (квадрате). Во II классе школьники знакомятся с видами треугольников, учатся делить окружность на равные части. Во II - III классах большое внимание уделяется нахождению периметров фигур, а в III классе - их площадей. Решение геометрических задач, связанных с анализом положения и формы фигур, способствует развитию у детей элементарных пространственных представлений и умения рассуждать.
Решение всех перечисленных учебных задач осуществляется школьниками посредством выполнения учебных действий. (1). Первое из действий состоит в преобразовании условий задачи с целью выделения отношения, являющегося основой общего способа ее решения (например, кратного отношения величин как общей основы понятия чисел). (2) Вторым действием является моделирование выделенного отношения, а (3) третьим - преобразование модели с целью изучения выделенного отношения. Дадим более подробную характеристику третьему учебному действию, выполняемому детьми на математическом материале. Это действие имеет существенное значение в общем процессе усвоения учащимися теоретических знаний, поскольку именно оно позволяет понять детям специфику ориентации в особенном идеальном плане (модель - это предметно-знаковое выражение идеального).
Так, после выполнения измерения и записи соответствующей модели-формулы
А / с = 5 тот же объект измеряется детьми с помощью другой меры. При записи результата вновь выполненного действия дети вместе с учителем выясняют целесообразность сохранения прежней буквы для обозначения объекта (А) и изменения буквы (с) для обозначения новой меры. Цифра, записываемая после знака равенства, тоже оказывается иной. В следующей ситуации сохраняется прежняя мера, но изменяется объект - соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра.
Освоение школьником преобразования модели осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится им после или в процессе манипуляций с предметным материалом. Затем, наоборот, по заданной модели ребенку нужно выполнить соответствующие манипуляции. Например, учитель записывает новую формулу, в которой сохраняется прежнее обозначение измеряемого объекта, но изменяется буква, обозначающая меру. Дети должны произнести соответствующие изменения в предметной ситуации и далее выполнить измерение в новых условиях.
Кроме буквенных моделей, важную роль при формировании математических понятий играют пространственно-графические модели. Существенной их особенностью является объединение в них абстрактного смысла с предметной наглядностью. Строго говоря, абстракция математического отношения может быть произведена с помощью одних только буквенных формул. Но в них фиксируются лишь результаты реально или мысленно произведенных действий с объектами. А пространственные изображения (например, в виде абстрактных отрезков или прямоугольников), представляют собой зримую величину (протяженность), позволяют детям производить такие реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать.
Как можно видеть, моделирование связано с наглядностью, которую широко использует традиционная дидактика. Однако в развивающем обучении системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова наглядность имеет специфическое содержание. В наглядных моделях находят отражение существенные или внутренние отношения и связи объекта, выделенные (абстрагированные) посредством соответствующих преобразований (обычная наглядность фиксирует лишь внешне наблюдаемые свойства вещей).
Отметим, что именно абстрактный материал является адекватным для постановки и решения учебной задачи, связанной с освоением общего способа действия. Вместе с тем справедливо и обратное утверждение: абстрактный материал приобретает учебное значение только в ситуациях учебной задачи.
Характерно, что в принятом начальном обучении появление абстрактного материала (в частности, буквенной символики) связано с окончанием учебной работы по какому-либо разделу. В экспериментальном же обучении такой материал вводится в самом начале учебной работы. Так, буквенная символика в первом случае служит средством фиксации свойств какого-либо материала, обнаруженных детьми в процессе решения многих конкретных задач. Во втором же случае сравнительно рано вводимый абстрактный материал служит средством «схватывания» учащимися оснований предметного действия.
Продолжим рассмотрение третьего учебного действия (преобразования модели) на примере усвоения детьми однозначности структуры математической операции. Так, первоклассникам предлагается представить в виде отдельных отрезков прямой каждый элемент равенства а + b = с. Выполняя это задание, школьники обнаруживают, что размер отрезка, вычерчиваемого последним (а порядок их вычерчивания может быть любым), не может быть взят произвольно, так как он зависит от уже выбранных размеров других отрезков. Таким образом, первоклассники открывают фундаментальное свойство математических структур - их однозначность.
Затем учащиеся переходят к выявлению конкретных особенностей этого свойства. При вычерчивании тех же отрезков школьники обнаруживают следующее. Третий отрезок должен изображать значение целого, значит, для определения его длины нужно длины уже имеющихся отрезков складывать. Когда же третий отрезок выступает в роли части, то приходится из длины отрезка целого вычитать длину отрезка произвольно взятой части. Затем учебные ситуации строятся таким образом, что происходит постепенный переход школьников от работы с чертежами к описанию действий только с помощью буквенных формул.
В дальнейшем при выполнении (4) четвертого учебного действия дети переходят от рассмотрения общих особенностей указанного свойства математических структур к рассмотрению его частных проявлений. Так, из общего свойства однозначной зависимости элементов математической операции может быть выведено частное следствие. Это действие имеет практическое приложение: если требуется знать числовые характеристики элементов операции, то необходимость в непосредственном счете или измерении возникает только по отношению к двум из них, в то время как третий может быть определен путем выполнения формальных операций со значениями первых двух.
Школьники первоначально в общем виде устанавливают все возможности опосредствованного поиска значений компонентов одной и той же операции, что фиксируется ими в процессе замены записи одной формулы исходного равенства (например, а - в = с) записями ряда уравнений (х - в = с, а - х = с, а - в = х). Сюжет же, которым задается операция-равенство, трижды превращается (по числу элементов сюжета, а, следовательно, по числу возможных уравнений) в текстовую задачу. Тем самым дети сами выводили различные виды простых текстовых задач и простых, уравнений.
Переход от общего к частному осуществляется не только в форме конкретизации содержания исходных абстракций, но и путем смены буквенной символики конкретно-числовой. Важно отметить, что такой переход осуществляется как подлинное построение конкретного из абстрактного на основе выделенных закономерностей. При этом дети должны первоначально выполнять развернутые формы фиксации этого перехода, а затем учиться их свертывать.
Когда школьник уже овладел принципиальной схемой общего способа предметного действия, необходимого для решения учебной задачи, на первый план, выступает учебное (5) действие контроля, основная функция которого состоит в обеспечении этого способа всеми операциями, необходимыми для успешного решения ребенком всего многообразия конкретно-частных задач. Например, когда ребенок в принципе уже владеет общим способом измерения величин, получая определенный результат, учитель, предлагает ему повторно проделать это измерение, меняя при этом какую-либо конкретную операцию измерения с правильной на неправильную. Так, один раз при отливании воды можно наполнить меру до краев. В другой раз - частично, один раз при каждом наполнении меры можно называть числительное, в другой раз - не при каждом и т. д. Выяснение школьником причин изменения ранее полученного результата при повторном выполнении измерения позволяет ему выделить и усвоить ряд конкретных операций, необходимых для правильного измерения.
С учебным действием контроля тесно связано (6) действие оценки, направленное на выявление готовности ребенка перейти к решению новой учебной задачи, требующей и нового способа решения (оценка определяет, в частности, и сформированность общего способа решения прежней задачи). Поскольку новая задача является таковой не полностью, а только в части своих условий, то, выделив с помощью оценки эту часть, школьники не только определяют невозможность решения этой задачи прежним способом, но и устанавливают, с чем связано возникшее здесь затруднение. Так как оценка устанавливает недостаточность имеющегося общего способа действия, то тем самым она ориентирует ребенка на поиск именно нового общего способа решения возникшей учебной задачи, а неполучение того или иного частичного результата от ее решения.
После того как у школьников был сформирован общий способ решения учебной задачи, им предлагалось применить его в конкретных условиях частных задач практического характера. Например, учащиеся получали готовый текст конкретной арифметической задачи, включающий отношение целого и частей. Учащиеся сначала фиксируют ее содержание с помощью пространственно-графической схемы или уравнения. Это позволяло им рассматривать данные этой задачи через призму категорий целого и частей и находить правильное решение (в последующем соответствующие данные помечались в качестве целого и частей прямо в тексте задачи, и, наконец, учащиеся быстро решают задачу без внешнего обнаружения процесса анализа ее условия). В результате применение детьми общего способа к решению различных частных задач происходит «с места».
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 75 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |