Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Не понимаю. Это шоу годами смотрят миллионы людей, и до сих пор никто не осознал, что шансы на­ столько смещены в сторону изменения первоначаль­ ного выбора!

— Вы должны помнить, что говорите о шоу, где
люди, чтобы их выбрали, должны носить смешные за­
ячьи ушки.

Людей этих путает то, что процесс не случаен. Если бы Монти случайно выбирал одну из двух дверей, и приза за выбранной дверью не оказывалось, тогда ве­роятность между двумя оставшимися дверями действи-

524____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

тельно была бы равна 50/50. Конечно, если он выбирал бы дверь случайно, то иногда приз оказывался бы за открытой дверью, но этого никогда не случалось. Ключ здесь в том, что он никогда не выбирает двери случайно, он всегда выбирает неправильную дверь, и это изменяет вероятность. Это классический пример условной веро­ятности. Если вероятность нахождения приза за дверью №2 или дверью №3 составляет 2/3, то при условии, что это не дверь №2, какова вероятность того, что это дверь №3? Ответ, конечно, две третьих.

Парадоксально, но через четыре недели после моего ин­тервью с Джеффом Лесом New York Times опубликовала статью об этой головоломке. В статье Times сообщалось, что когда Мэрилин Вое Савант правильно решила эту головоломку в своей колонке в журнале Parade в ответ на вопрос читателя, она получила почти тысячу кри­тических (и неправильных) писем от докторов наук, в основном математиков и ученых, занимающихся естест­венными науками. Статья в Times вызвала новый поток писем в редакцию. Некоторые из них, давшие особенно четкие и убедительные объяснения правильного ответа, воспроизводятся ниже.

В редакцию.

Касательно статьи «За кулисами шоу Монти Холла: споры вокруг головоломки и ответ на нее» (21 июля, первая полоса). Причиной, по которой люди не могут понять правильного ре­шения головоломки с тремя дверями, за двумя из которых нахо­дятся козлы, а за одной машина, заключается в том, что в задаче этой используются только три двери. Это приводит к тому, что кажущаяся, но неправильная вероятность выбора автомобиля (1 к 2) оказывается слишком близкой к правильной вероятнос­ти (1 к 3), и прийти к этому решению интуитивно трудно.

Чтобы лучше проиллюстрировать правильный ответ — что игрок должен изменить свой первоначальный выбор двери после того, как одна из двух других открывается телеведущим

ДЖЕФФ ЯСС. МАТЕМАТИКА СТРАТЕГИИ___________________________________________ 525

Монти Холлом, — предположим, что игра ведется со 100 дверя­ми, причем за 99 находятся козлы, а за одной — автомобиль.

Когда игроку предлагают выбрать дверь в первый раз, он понимает, что шансы угадать автомобиль низкие (1 к 100). Если Монти Холл затем откроет 98 дверей, за которыми окажутся коз­лы, то будет ясно, что шанс обнаружить автомобиль за оставшей­ся невыбранной дверью велик (99 из 100). Хотя останется только две двери (та, которую выбрал игрок, и неоткрытая дверь), боль­ше не будет казаться, что шансы на то, что автомобиль окажется за каждой из этих дверей, одинаковы. Большинству людей будет казаться интуитивно правильным изменить выбор двери.

Кори Фрэнклин Чикаго, 23 июля 1991 года

В редакцию.

Насколько я помню по тому времени, когда учился в шко­ле, когда вы имеете дело со сложными задачами по теории ве­роятности, полезно рассматривать шансы на проигрыш, а не шансы на выигрыш. Отсюда:

За двумя из трех дверей находятся козлы. Следовательно, в конечном счете, в двух из трех попыток вы выберете козла. Одна дверь с козлом убирается. Теперь в двух случаях из трех, когда у вас будет козел, за другой дверью окажется машина. Вот почему имеет смысл изменить выбор.

Карл В. Аматник Сан-Диего, 22 июля 1991 года

И, наконец, такое письмо.

В редакцию.

В вашей статье в номере от 21 июля о головоломке Мон­ти Холла не упоминается один из вариантов выбора того, что находится за дверью: предпочтение козла автомобилю. Ко­зел — замечательное животное, хотя припарковать его может быть непросто.

Лора Сигал Нью-Йорк, 22 июля 1991 года

526____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

Суть в том, что чувства ваши вас обманывают. Стрем­ление к упрощению побуждает вас сказать, что вероят­ности для двери №1 и двери №3 равные. Однако после тщательного анализа вы понимаете, что, изменив свое первоначальное решение, получаете огромное преиму­щество, даже хотя сразу оно может очевидным и не по­казаться. Мораль здесь в том, что в торговле важно рас­сматривать ситуацию с как можно большего числа точек зрения, потому что ваши первые импульсы, по всей ве­роятности, окажутся неправильными. Очевидные выво­ды никогда не позволяют сделать деньги.

— Можете ли вы привести мне пример ситуации,
где очевидное решение оказывается неправильным?

— Предположим, акция торгуется по 50 долларов,
и на рынке появляется некое учреждение, предлага­
ющее продать 500 колл-опционов с ценой страйк 45
по 4 V₂ доллара. Инстинктивной реакцией в такой
ситуации является следующее: «Прекрасно! Я куплю
колл-опционы по 4 V₂ доллара, продам акцию по 50
долларов и получу прибыль в V₂ доллара». В реальнос­
ти, однако, в 9 случаях из 10 причиной, по которой
учреждение предлагает колл-опцион по 4 V₂ доллара
является его почти стопроцентная уверенность в том,
что цена акции упадет.

— А бывает ли вообще такое — т. е. когда учрежде­
ние предлагает к продаже опционы по цене ниже внут­
ренней стоимости (минимальной теоретической стои­
мости, которая равна разности между ценой акции и
ценой исполнения — 5 долларов в примере Ясса)?

— Это случается сплошь и рядом.

— Не понимаю. Какой смысл продавать опцион
ниже внутренней стоимости?

— В приведенном мною примере учреждение могло
быть очень уверено в том, что акция будет торговаться

ДЖЕФФ ЯСС. МАТЕМАТИКА СТРАТЕГИИ___________________________________________ 527

ниже 49 V₂ доллара, и поэтому цена 4 V₂ доллара за колл-опцион 45 не является неразумной.

— Даже если у них имеются достаточные причины
считать, что акция будет торговаться ниже, как они мо­
гут быть настолько уверены в выборе времени?

— Прямой ответ на этот вопрос заключается в том,
что они знают, что у них есть на продажу миллион ак­
ций, и что им, возможно, придется предложить эту ак­
цию по 49 долларов, чтобы продать такое количество.
Все сводится к условным вероятностям. С учетом того,
что это учреждение предлагает опцион по цене ниже его
внутренней стоимости, какой вариант более вероятен:
что они настолько наивны, чтобы фактически выписать
вам безрисковый чек на 25 тыс. долларов, или что они
знают что-то такое, чего не знаете вы? Я считаю, что если
они захотят предложить вам такую сделку, вы, скорее
всего, проиграете.

Когда я только начал, я всегда покупал опционы, предлагавшиеся по ценам ниже внутренней стоимости, думая, что у меня в кармане гарантированная прибыль. Я не мог понять, почему другие умные трейдеры в опе­рационном зале не бросаются на эти сделки. В конце концов я понял, что причина, по которой умные трейде­ры не покупают эти колл-опционы, заключается в том, что в среднем они приводят к проигрышу.

— Если это вполне законно, то почему учреждения
не продают регулярно колл-опционы накануне ликви­
дации своих позиций? Кажется, это было бы неслож­
ным способом снижать проскальзывание при выходе
из больших позиций.

— Собственно говоря, это весьма распространенная
стратегия, но маркет-мейкеры уже поумнели.

— Как изменился рынок опционов за те 10 лет, что
вы на нем работаете?

528____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

— Когда я начал торговать опционами в 1981 году,
все, что требовалось для того, чтобы делать деньги, это
использовать стандартную модель Блэка-Шоулза и здра­
вый смысл. В начале 1980-х годов самая общая стратегия
заключалась в том, чтобы стараться купить опцион, тор­
гующийся при относительно низкой подразумеваемой
волатильности и продать связанный с ним опцион с бо­
лее высокой волатильностью. Например, если большой
ордер на покупку какого-то конкретного колл-опциона
подталкивал его подразумеваемую волатильность до 28%
в то время как другой колл-опцион для той же акции
торговался на 25%, вам следовало продавать более вола-
тильный колл-опцион и компенсировать эту позицию
покупкой колл-опциона с меньшей подразумеваемой во­
латильностью.

— Насколько я понимаю, такие расхождения сущес­
твовали потому, что рынок в то время был довольно
неэффективным.

— Правильно. В то время многие опционные трей­
деры все еще неправильно понимали волатильность и
общую теорию опционов. Например, если колл-опцион
торговался при 25-процентной волатильности, что было
относительно мало для опционов данной акции, многие
трейдеры не понимали, что не нужно иметь бычьих на­
строений в отношении этой акции, чтобы купить колл-
опцион. Если вы были настроены в отношении акции
по-медвежьи, вы все равно могли купить недооценен­
ный колл-опцион, одновременно продав акцию, что да­
вало объединенную позицию, эквивалентную покупке
пут-опциона. Маркет-мейкеры, обладавшие более мате­
матическим складом ума, понимали такие взаимосвязи
и могли использовать расхождения цен. Теперь об этих
взаимоотношениях знают все, и вы уже больше не уви­
дите ситуаций, в которых различные опционы по одной
и той же акции торгуются по существенно отличающей­
ся подразумеваемой волатильности — если, конечно,

ДЖЕФФ ЯСС. МАТЕМАТИКА СТРАТЕГИИ___________________________________________ 529

для такой разницы в ценах нет хорошей фундаменталь­ной причины. Теперь, когда все понимают волатиль-ность, главная битва переместилась в область несиммет­ричности в ценообразовании опционов.

— Не могли бы вы объяснить, что вы понимаете
под словом «несимметричность»?

— Объясню это на примере. Сегодня ОЕХ был на уров­
не 355. Если вы посмотрите котировки опционов, то уви­
дите, что рынок оценивает пут-опционы 345 значительно
выше, чем колл-опционы 365. (Стандартные модели це­
нообразования опционов должны оценивать колл-опци­
оны 365 лишь немного выше, чем пут-опционы 345.)

— Всегда ли цены опционов смещаются в одном на­
правлении? Иными словами, всегда ли пут-опционы
не при деньгах оцениваются выше, чем такие же колл-
опционы не при деньгах?

— В большинстве случаев пут-опционы будут выше,
а колл-опционы ниже.

— Есть ли какая-то логическая причина для такого
направленного смещения?

— Собственно говоря, имеются две логические причи­
ны. Одну я вам могу сказать, другую нет. Один из основ­
ных факторов заключается в том, что при движении вниз
существует гораздо большая вероятность финансовой
паники, чем при движении вверх. Например, изредка мо­
жет выпасть день, когда Доу понизится на 500 пунктов, но
гораздо менее вероятно, что Доу за день повысится на 500
пунктов. С учетом природы рынков, шансы краха всегда
больше, чем шансы моментальной эйфории роста.

— Всегда ли рынки оценивали пут-опционы значи­
тельно выше, чем колл-опционы?

— Нет. Рынок не оценивал опционы таким образом до
краха октября 1987 года. Однако я всегда считал, что воз-

530____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

можность огромного падения цен была гораздо больше, чем возможность подъема цен на такую же величину.

— Пришли ли вы к выводу о большей вероятности
резких падений цены, чем резкого роста, исходя из ис­
следований исторических данных?

— Нет, ничего такого сложного. Просто, наблюдая за
рынками, я заметил, что цены имеют тенденцию падать
гораздо сильнее и быстрее, чем подниматься.

— Применим ли этот направленный сдвиг только к
опционам на фондовые индексы, или он также подхо­
дит для опционов на отдельные акции?

— Таким образом определяются цены опционов на
большинство акций крупных компаний (т. е. пут-оп-
ционы дороже, чем колл-опционы), потому что неожи­
данные падения цен имеют тенденцию быть значитель­
но больше, чем неожиданные повышения цен. Однако
если ходят слухи о возможности поглощения компании,
колл-опционы не при деньгах будут оцениваться выше,
чем пут-опционы не при деньгах.

— Используют ли ваши трейдеры ваши модели це­
нообразования опционов для принятия основных тор­
говых решений?

— Любая модель ценообразования опционов, вклю­
чая мою собственную, является слишком упрощенной
для правильного описания реального мира. Невозможно
построить модель, которая будет получать такое же ко­
личество информации, как сам рынок. Мы учим наших
маркет-мейкеров понимать базовые предпосылки, ле­
жащие в основе нашей модели, и причины, по которым
эти предпосылки являются слишком упрощенными. За­
тем мы учим их более сложным предпосылкам и тому,
как они влияют на цену. Выбор правильных предпосы­
лок всегда является до некоторой степени субъективным
суждением. Мы считаем, что можем научить любого ум-

ДЖЕФФ ЯСС. МАТЕМАТИКА СТРАТЕГИИ___________________________________________ 531

ного быстро думающего человека быть трейдером. Мы считаем, что трейдерами становятся, а не рождаются.

Таким образом, получается, что вы начинаете с про­гнозирования на основе использования модели, а затем переходите к субъективным поправкам, основанным на том, как, по вашему мнению, соотносятся различные оценки, сделанные моделью, с текущей реальностью.

— Совершенно верно.

— Не могли бы вы привести пример того, как рабо­
тает такой процесс внесения поправок?

— Текущим примером является компания NCR, яв­
ляющаяся целью поглощения со стороны AT&T. AT&T
предлагает 110 долларов, а акция сейчас торгуется при­
мерно на уровне 106 долларов. Если поглощение осу­
ществится, то покупатель акции сможет заработать при­
мерно 2 доллара. (Примерно половина разности между
текущей ценой и ценой поглощения уходит на издержки,
связанные с процентными ставками, которые придется
заплатить за привлечение капитала на покупку акций.)
Если, с другой стороны, поглощение не состоится, тогда
акция может резко упасть — скажем, до 75 долларов, судя
по текущим рыночным оценкам. В данном конкретном
случае относительно близкие колл-опционы по сущест­
ву не должны ничего стоить, потому что маловероятно,
что акция поднимется выше ПО долларов. С другой сто­
роны, пут-опционы 90, находящиеся значительно глубже
не при деньгах, имеют некоторую возможность принести
значительную прибыль в случае срыва поглощения. Та­
ким образом, в такой ситуации пут-опционы не при де­
ньгах будут оцениваться значительно выше, чем эквива­
лентные колл-опционы не при деньгах.

— Иными словами, это пример того, как модель це­
нообразования опционов может в реальной ситуации
давать весьма обманчивые прогнозы.

532____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

— Правильно, потому что стандартная модель исхо­
дит из того, что вероятность любого отдельного тика,
будь то вверх или вниз, составляет 50%. Это, однако, в
данном случае не так, потому что вероятность большого
снижения цены гораздо больше, чем вероятность боль­
шого повышения цены.

Было время, когда люди с математическим складом ума торговали прямо по своим моделям, и в такой ситуа­ции, как я только что описал, они продали бы пут-опци-оны не при деньгах потому, что они казались оцененны­ми слишком высоко. Однако люди с более практичным складом ума рассмотрели бы ситуацию и поняли бы, что существует реальная вероятность большого снижения цены акции (а именно, падение в случае, если погло­щение не состоится). Трейдеры, использующие подход, основанный на здравом смысле, в конечном счете ку­пили бы пут-опционы не при деньгах у тех, кто больше склонен к математическим действиям, и хорошо бы при этом заработали. Однако в конечном счете трейдеры с математическим складом ума тоже разобрались, что к чему.

— Как вы обычно поступаете в своей повседневной
работе? Сначала смотрите на результаты модели, а уже
потом вносите необходимые умственные поправки?

— Совершенно верно. Наша философия состоит в
том, что мы очень уважаем мнение рынка. Например,
если мы считаем, что опцион стоит 2 доллара, а знаю­
щий маркет-мейкер предлагает 2 Ч₂ доллара, мы исхо­
дим из того, что в 9 случаях из 10 он прав, потому что он
торгует только одной этой акцией, а мы торгуем пятью
сотнями. В этом случае мы постараемся понять, почему
он предлагает 2 '/₂ доллара. Если мы можем найти при­
чину и мы с ней не согласны, то мы можем попробовать
продать опцион, потому что он переоценен. Но в боль­
шинстве случаев мы приходим к выводу, что он знает
лучше нас, и в результате мы вносим поправки в нашу

ДЖЕФФ ЯСС. МАТЕМАТИКА СТРАТЕГИИ___________________________________ 533

оценку других опционов на эту акцию и будем далее по­купать эти другие опционы или саму акцию.

— Когда вы вносите поправки в свои оценки оп­
ционов, потому что кто-то другой предлагает цену,
которая кажется не соответствующей теоретической
стоимости, вы исходите просто из того, что они распо­
лагают лучшими знаниями о данной компании?

— Да, информация распространяется не идеальным
образом, как вас учат в базовом курсе финансов. Зачас­
тую информация сначала появляется на опционном
рынке. Многие инсайдеры, которые хотят получить
быструю прибыль, используя внутреннюю информа­
цию, покупают именно опционы, и мы как раз те люди,
которые теряют при этом деньги.

Например, только сегодня поймали сотрудника Marion Labs, очевидно, имевшего внутреннюю ин­формацию о том, что Dow попытается поглотить эту компанию. Этот человек купил 500 лотов июльских колл-опционов 25 по 1 доллару (общая стоимость 50 тыс. долларов), а на следующий день опционы эти стоили по 10 долларов (общая стоимость позиции 500 тыс. долларов). В прежние времена — до опцио­нов — человек, располагающий такой информацией, мог купить акции, и даже если предположить, что он использовал 55-процентную маржу, то процентная прибыль была бы не так уж и велика. Однако сегодня, покупая опционы, трейдеры, располагающие внут­ренней информацией, могут невероятно увеличить размер своей прибыли. Иногда мне даже жаль неко­торых из этих людей, потому что до недавнего шума, поднятого общественностью в связи с торговлей на основе конфиденциальной информации, я не уверен, что все они даже понимали, что нарушают закон. Од­нако поскольку они сначала появляются на опцион­ном рынке, то мы как раз и есть те самые люди, кото­рых они обирают.

534____________________________________________________ ДЕНЕЖНЫЕ МАШИНЫ

— Не понимаю. Разве когда появляется информа­
ция о поглощении, SEC не проверяет поток ордеров
для того, чтобы обеспечить отсутствие среди них по­
дозрительных?

— Да, это так, и SEC становится весьма эффектив­
ной в отлове людей, занимающихся торговлей на осно­
ве конфиденциальной информации. SEC также гораздо
эффективнее возвращает деньги другим участникам
этих сделок. Однако раньше процесс этот занимал го­
раздо более длительное время.

Знаменитым примером здесь является нефтяная ком­пания Santa Fe, бывшая целью поглощения со стороны кувейтцев в 1981 году. В то время ее акции стоили 25 дол­ларов, а опционные трейдеры на бирже исполнили ордер на 1000 колл-опционов 35 по цене 1/16 доллара. Вскоре после этого акция подскочила с 25 до 45 долларов, а опци­оны подорожали с 1/16 доллара до 10 долларов. Трейдеры операционного зала молниеносно потеряли примерно миллион долларов. Хотя они в конечном счете получили свои деньги обратно, на это ушли годы. Маркет-мейкеру, который обанкротился из-за продажи опциона инсайде­ру, не очень-то приятно годами ждать, пока вернут его капитал. Вы живете в страхе, что продадите опцион како­му-то хорошо информированному источнику.

Рано или поздно попадаются все, потому что если вы пытаетесь полностью избежать таких сделок, то про­пустите множество хороших торговых возможностей. По существу, если вы слишком консервативны, то не захотите проводить вообще никаких сделок, а если вы слишком агрессивны, то будете очень часто попадать на жуликов. Фокус в том, чтобы попытаться найти между этими двумя крайностями золотую середину.