Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос12. Второй замечательный предел в задаче о начислении процентов.

Рассмотрим пример Я.И.Перельмана, дающий интерпретацию числа е в задаче о сложный процентах.В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.Пусть в банк положено 100 ден. Ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. Ед. превратятся в 200 ден. Ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. Ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия мы получим 150 ден. Ед., а еще через полгода—150*1,5=225(ден. Ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года мы получим 100*(1+1/3)^3=237(ден. Ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д.Тогда из 100ден. Ед. спустя год получится:

100*(1+1/10)^13=259(ден.ед.)

100*(1+1/100)^100=270(ден.ед.)

100*(1+1/1000)^1000=271(ден.ед.)

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому числу, равному приблизительно 272.Более чем в 2,72 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу ежесекундно, потому что число е=2,71828 и

Lim(1+1/n)^n

В практическах расчетах в основном применяют дискретные проценты т.е проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени(год,полугодие и т.д.).Время – дискретная переменная. В некоторых случая – в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, – возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S=P*(1+i)^n

Здесь P – первоначальная сумма, i – ставка процентов (в виде десятичной дроби), S – сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S – P называют дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной величиной S. Имеем:

P=S//(1+i)^n => lim(n→∞)P= lim(n→∞)S//(1+i)^n=0.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная велечина последнего будет крайне незначительна. В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т.е наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений(или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных, Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

Sm=P*(1+i/m)^mn

Наращенная сумма при дискретных процессах находятся по этой формуле, здес m – число периодов начисления в году; i – годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при

m →∞ имеем:

S= limSm(m→∞)= limP(m→∞)*(1+i/m)^mn=P* lim(m→∞)(1+i/m)^mn=P*e^m

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того чтобы отличить ставку непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, ее обозначают через δ. Тогда S=P*e^ δm. Сила роста δ представляет собой номинальную ставку процентов при m→∞. Множитель наращения рассчитывается с помощью компьютера или по таблицам функции.

45 Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [a,f], т.е функция Ф(t)= f(x)dx определена для произвольного t≥a

Определение. Несобственным интегралом f(x)dx от функции f(x) на полуинтервале [a,+ ∞] называется предел функции Ф(t) при t, стремящийся к +∞, т.е

F(x)dx=lim(t→∞) f(x)dx

Если предел, стоящий в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся(к данному пределу), в противном случае расходящийся.

Несобственный интеграл на полуинтервале(-∞;в]:

F(x)dx= lim(t→-∞) F(x)dx.

Введём понятие несобственного интеграла на интервале (-∞,+∞). Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы

F(x)dx и f(x)dx сходятся. Тогда положим, что

F(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx, при этом интеграл f(x)dx называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл

F(x)dx называется расходящимся.

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнём Рассматривать частный случай: пусть функция y>f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a,b)

Определение Несобственным интегралом f(x)dx

Вопрос13.Асимптоты. Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: . Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела . Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов. Пример наклонной асимптоты

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Вопрос14. Глобальные свойства непрерывных функций. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Вопрос15.Производная. Геометрический, механический и экономический смысл производной.. Производной ф-ии y=f(x) в точке х наз-ся предел lim(Lx®o)(f(x+Lx)-f(x))/Lx=lim(Lx®o)(Ly/Lx). Если этот предел конечный, то ф-ия наз-ся дефферинцируемой в точке х, при этом она оказ-ся обязательно и непрерывной в этой точке.Если пределравен +¥ или -¥, то ф-ия f(x) имеет в точке х бесконечную производную. Нахождение

производной – дифференцирование ф-ии. Геометрический смысл: это угловой коэффициент касательной к данной точке. Механический смысл: производная от пути по времени личная скорость. Эк смысл: производная, вычисленная от кол-ва произведённой прод-ииln в данный момент времени есть производительность трудаu′=lim∆u/∆t.