Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос29. Градиент. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Коэффициенты эластичности.

Градиентом ф-ии z=f(x₁,x₂,…x_n) наз-ся вектор составленный из её частных производных 1-ого порядка.Обозначаеться: gradzилиÑz(набла). Только для функции двух переменных x z(x,y)

Gradz(M)=(f′x(M),fy′(M)). Для функций n переменных z(x1,x2…xn) gradz(M)=(qz(M)/qx1,qz(m)/qx2,…,qx(M)/qxn).

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Нам дана функция Z=f(x,y), определенная в окрестности точки (Хо,Yo)€X. Придадим значению Хо приращенные ∆x.

Разность ∆x Z= F(Xo+∆X1 yo)–f(Xo,yo)называется частным приращением функции по переменной Х, тогда в случае существования предела.

Lim(∆x→0) ∆xZ//∆x= Lim(∆x→0)f(Xo+∆x,yo)-f(Xo,yo)//∆x

Его называют частной производной функции по переменной х и обозначают одним из символов:

Zx, Zx’,δz/δx, f’x(Xo,yo), δf/δx

Заметим, что символ для обозначения частной производной δf/δx в отличие от обычной производной не может рассматриваться как дробь итак,

δf/δx= Lim(∆x→0) f(Xo+∆x,yo)-f(Xo,yo)// ∆x

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по переменной y. По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие односторонней частной производной правой(левой) частной производной функции называется предел отношения или частного приращения функции и приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю справа(слева). Обозначение для функции z=f(x,y):

Z’xt=f’x+(Xo,yo)=lim(∆x→0+0) ∆z/∆x

Z’x-=f’x-(Xo,yo)=lim(∆x→0-0) ∆z/∆x

(односторонние частные производные по переменой Х)

Односторонние частные производные по переменной y обозначаются: Z’y+,Z’y-

По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие частной, или частичной эластичности. Важной характеристикой производственной функции являются коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов.

Ei=δp/ δX2 Xi/p, где p – показатель результата, Хi – размер затрат i-го ресурса

Коэффициент эластичности – это числовой показатель, показывающий процентное изменение одной переменной в результате однопроцентного изменения другой переменной. Эластичность может изменяться от нуля до бесконечности. (Точечной) эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной y к x называется величина: .Данное значение определяет эластичность в конкретной точке. Эластичность постоянна только в рамках логарифмической (или степенной) модели зависимости. Во многих случаях (в том числе и для линейной модели зависимости) эластичность в разных точках отличается. Поэтому рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений y и x. Иногда вместо и используют среднюю точку в интервале изменения их значений. где Преимуществом последнего способа является симметричность относительно знака изменения фактора.