Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод нелинейного преобразования времени

Рассмотрим генерирование волн давления нестационарно движущимся в сжимаемой жидкости (акустической среде) плоским поршнем. Конструктивно это может быть достигнуто движением поршня в трубе. Полагаем, что скорость движения поршня достаточно мала по сравнению со скоростью звука в среде, так что квадратом этого отношения по сравнению с единицей можно пренебречь. Однако, полагаем, что перемещения поршня значительны настолько, что граничное условие необходимо задавать на текущем положении возмущающей границы. С учетом сказанного математическую постановку задачи запишем в виде

(2.18)

(2.19)

где - потенциал скоростей возмущенного движения среды,

х - координата,

t - время,

С₀ - скорость звука в среде,

- скорость движения поршня;

-закон движения поршня, но в общем случае .

Начальные условия полагаем нулевыми, т.е. полагаем

(2.20)

При известном потенциале скоростей скорость среды и давление в среде определяются выражениями

Рис. 2.1. Плоский поршень в трубе с жидкостью

, (2.21)

(2.22)

где р₀ - плотность среды.

Решение поставленной задачи (2.18)- (2.22) будем искать методом нелинейного преобразования времени. В соответствии с этим методом решение волнового уравнения (2.18) запишем в виде

(2.23)

(2.24)

где - волновой аргумент (),

Р - неизвестная (искомая) функция волнового аргумента, определяемая из граничного условия (2.19).

Подставляя решение (2.23) в граничные условия (2.19), получаем соотношение вида

(2.25)

Для решения уравнения (2.25) воспользуемся преобразованием времени

(2.26)

исходя из которого получаем обратную функцию

(2.27)

где -«новое» время.

Заметим, что преобразование вида (2.26), (2.27) лежит в основе метода нелинейного преобразования времени, как метода решения волновых задач с подвижными границами. При условии, что функция Н_R (t) является однозначной и непрерывной и при выполнении неравенства можно утверждать, что обращение (2.27) однозначно.

С учетом преобразования (2.26), (2.27) уравнение (2.28) принимает вид

(2.28)

Интегрируя уравнение (2.28) по , получаем

(2.29)

Учитывая, что решение волнового уравнения должно быть функцией волнового аргумента в (2.19) принимаем Тогда получаем решение краевой задачи в виде

(2.30)

Скорость среды и давления в среде находим в виде

V(x,t)= (2.31)

Остановимся на определении обратной функции из соотношения (2.26). В ряде случаев задания закона Н_R(t) обратное преобразование (2.27) можно получить из решения алгебраического уравнения (2.26). Например, пусть Тогда

и ,

где М₀ =

Если функция представлена в виде степенного ряда, то

решение уравнения (2.27) проводится в соответствии с формулами обращения степенных рядов. Так, если

(2.28)

При этом преобразовании коэффициенты ряда (2.29) определяются по формуле

(2.30)

Наконец, при выполнении условия можно воспользоваться методом последовательных приближений

,

(2.31)

Аналогичным образом находятся последующие приближения. В большинстве случаев практики можно ограничиться первым приближением.