Читайте также:
|
|
Англичанин Раус в 1873 г. предложил, а швейцарец Гурвиц в 1885 г. формализовал алгебраический критерий устойчивости. В настоящее время он известен как критерий Рауса-Гурвица, который формулируется следующим образом.
Для устойчивости системы требуется, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были положительными, а также удовлетворяли некоторым соотношениям. Критерий Рауса-Гурвица устанавливает эти соотношения в форме неравенств, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости системы любого порядка.
Система неравенств Гурвица строится следующим образом. Из коэффициентов характеристического уравнения n -й степени (4.6) составляется квадратная матрица n -го порядка
…….. 0 0 0
…… 0 0 0
0 ……… 0 0 0
…………………………………………………. (4.17)
0 0 0 …… 0
0 0 0 ……
Правило оставления матрицы Гурвица следующее. По главной диагонали располагают коэффициенты характеристического многочлена (4.7) в порядке их нумерации с до В строках помещаются поочередно коэффициенты только с нечеткими или только с четкими индексами (включая коэффициент ), причем влево от диагонали с уменьшающимися, вправо с увеличивающимися индексами. Все недостающие коэффициенты, т.е. коэффициенты с индексами меньше нуля или больше n, заменяются нулями.
Для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все n диагональных миноров матрицы (4.17) были положительными. Диагональные миноры (называемые определителями Гурвица) получаются отчеркиванием их справа и снизу, как показано в (4.17). Таким образом, критерий Рауса-Гурвица записывается как
(4.18)
Заметим, что последний определитель включает в себя уже всю матрицу Гурвица целиком. Если его раскрыть по элементам последнего столбца, содержащего только коэффициент , то можно записать
. (4.19)
Гурвиц показал, что если непрерывно изменять коэффициенты характеристического уравнения, ухудшая устойчивость системы, то при потере устойчивости в нуль прежде всего обратится определитель , если при этом , то, следовательно, граница устойчивости определяется условием =0. Это граница апериодической устойчивости (один действительный корень находится на мнимой оси плоскости корней). Если , то в нуль обращается , что соответствует наличию на границе пары чисто мнимых корней . Это граница колебательной устойчивости. При переходе через эту границу начинается самораскачивание системы с частотой w 1. Если и дальше продолжать изменять коэффициенты характеристического уравнения, то могут стать отрицательными и другие определители Гурвица, а вновь может стать положительным. Поэтому положительность и (а значит, и ) еще не свидетельствует об устойчивости, должны быть положительными и другие определители Гурвица.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 31 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |