Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод итераций

Метод простых итераций для уравнения f (x) = 0 заключается в следующем:

1) Исходное уравнение преобразуют к виду, удобному для итераций:

x = φ(x); (2.2)

2) Выбирают начальное приближение x ₀ и вычисляют последующие приближения по итерационной формуле

x_k = φ(x_{k -1}), k = 1, 2, … (2.3)

Если существует предел итерационной последовательности , то он является корнем уравнения f (x) = 0, то есть f (ξ) = 0.

Рис. 2.7. Сходящийся процесс итераций

Теорема 2.3. Пусть выполняются условия:

1) корень уравнения x = φ(x) принадлежит отрезку [ a, b ];

2) все значения функции φ(x) принадлежат отрезку [ a, b ], т.е. a ≤ φ(x) ≤ b;

3) существует такое положительное число q < 1, что производная во всех точках отрезка [ a, b ] удовлетворяет неравенству .

Тогда:

1. Итерационная последовательность сходится при любом .

2. Предел итерационной последовательности является корнем уравнения , т.е. если , то ξ = φ(ξ).

3. Справедливо неравенство, характеризующее скорость сходимости итерационной последовательности

. (2.4)

Если производная функции φ(x) по модулю больше единицы, то процесс итераций расходится (рис.2.8).