Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод хорд

?

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x) = 0, обозначим его x_n. Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x_{n +1} может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции y = f (x) с осью OX, мы ищем точку пересечения с осью OX касательной, проведенной к графику функции в точке (x_n, f (x_n)) как показано на рис. 2.10. Уравнение касательной имеет вид .

В точке пересечения касательной с осью OX переменная y = 0. Приравнивая y нулю, выразим x и получим формулу метода касательных:

(2.6)

Второй способ. Разложим функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x_n:

Ограничимся линейными относительно (x – x_n) слагаемыми, приравняем нулю f (x) и, выразив из полученного уравнения неизвестное x и обозначив его через x_{n +1}, мы получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.4. Пусть на отрезке выполняются условия:

1) функция и ее производные и непрерывны;

2) производные и отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) (функция меняет знак на отрезке).

Тогда существует отрезок , содержащий искомый корень уравнения , на котором итерационная последовательность схо­дит­­ся. Если в качестве нулевого приближения выбрать ту граничную точку , в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. , то итерационная последовательность сходится монотонно.