Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Элементы теории погрешностей

Источники и классификация погрешностей

Выделим следующие основные источники погрешностей:

а) параметры, входящие в описание задачи, заданы неточно; соответствующую погрешность называют неустранимой;

б) математическая модель описывает изучаемый объект приближенно с учетом лишь основных, наиболее существенных факторов (погрешность математической модели);

в) численный алгоритм, применяемый для решения математической задачи, зачастую дает лишь приближенное решение(погрешность метода);

г) в процессе вычислений на компьютере промежуточные и конечные результаты округляются (вычислительная погрешность или погрешность округления). Методы, причисляемые к точным, не учитывают наличие вычислительной погрешности.

Часто первые два вида погрешности, объединяя их в один вид, также называют неустранимой погрешностью.

Элементы теории погрешностей

Определение 1.1. Приближенным значением некоторой величины a называется число а_p, которое незначительно отличатся от точного значения этой величины.

Определение 1.2. Абсолютной погрешностью D приближенного значения называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины:

D = | a – a_p | (1.1)

Определение 1.3. Относительной погрешностью приближенной величины а_p называется отношение абсолютной погрешности приближенной величины к абсолютной величине её точного значения:

(1.2)

Определение 1.4. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число D _a, не меньшее абсолютной погрешности этого числа

D = | a – a_p | ≤ D _a (1.3)

Определение 1.5. Предельной относительной погрешностью δ _a данного приближенного числа называется любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:

δ ≤ δ _a (1.4)

Определение 1.6. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются

─ все ненулевые цифры;

─ нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;

─ нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.

Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10^{1– n}, деленной на первую значащую цифру α _m:

δ ≤ 10^{1– n} / α _m. (1.5)

Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.

D _u =D _x + D _y (1.6)

Теорема 1.3. Есливсе слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

(1.7)

Теорема 1.4. Предельная относительная погрешность произведения
u = x ∙ y приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т.е.

δ _u = δ _x + δ _y (1.16)

Теорема 1.5. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.