Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод решения задачи расчета надежности систем с общим резервированием на ограниченном отрезке времени

В разделе 2 показана некорректность традиционно используемых методов расчета надежности систем. Причина некорректности заключается в подмене понятий, допущенной при использовании теоремы умножения вероятностей. Напомним, что в соответствии с этой теоремой для определения вероятности безотказной работы всей системы состоящей из последовательно соединенных агрегатов перемножаются вероятности их безотказной работы. При параллельном соединении агрегатов, вероятность отказа системы находится в виде произведения вероятностей их отказов.

Теорема умножения вероятностей получена в теории вероятностей применительно к вероятностям дискретных событий. Отмеченная подмена понятий заключается в использовании ее процедур (перемножения вероятностей) применительно к интегральным функциям, а не к дискретным событиям. Интегральные функции моделируют распределение вероятностей событий отказов как непрерывные случайные величины. Случайные величины и случайные события далеко не одно и то же. При этом конечное выражение для расчета надежности сложной системы представляет собой сумму, слагаемые которой являются произведениями интегральных функций вероятностей отказов агрегатов. В соответствии со следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей, распределение такой суммы неограниченно стремится к нормальному при увеличении числа членов суммы. Это хорошо проиллюстрировано рисунками 2.15, 2.16, 2.19, 2.20.

Для систем непрерывных случайных величин теория вероятностей предлагает использовать аналог теоремы умножения вероятностей, полученный для дискретных случайных. В соответствии с ним определяется плотность вероятности события отказа всей системы как произведение плотностей вероятностей отказов агрегатов, составляющих систему.

Плотность вероятности непрерывная, но определенная в любой точке абсцисс характеристика, поскольку имеет размерность вероятности приходящейся на единицу размерности оси абсцисс. Так плотность вероятности отказа – не что иное как вероятность отказа за единицу времени (например за 1 час). В любой момент времени t плотность вероятности имеет определенное значение и в связи с этим предполагается, что к ней может быть применена теорема умножения вероятностей.

В надежности перемножаются не только вероятности событий (отказов), но и вероятности отсутствия событий (безотказной работы). Плотности вероятности безотказной работы имеют те же числовые значения, что и плотности вероятностей отказов, но противоположны им по знаку (рис. 2.7). В связи с этим при параллельном и последовательном соединении агрегатов, при четном числе одинаковых агрегатов вероятности их отказов и безотказной работы равны, а при нечетном числе агрегатов различаются только по знаку.

Теория вероятностей в отличие от надежности изучает закономерности случайных событий. Однако не все ее теоремы корректно применяются в надежности, в частности, когда вводятся в рассмотрение вероятности отсутствия событий (безотказной работы).

В работе [53] предлагается альтернативный подход к расчету надежности сложных систем, когда задача решается относительно вероятности отказа системы за единицу времени, например, за 1 час налета, как того требуют Нормы летной годности самолетов [38]. Поскольку вероятность отказа системы за 1 час налета является дискретным событием, то при таком подходе, на первый взгляд, представляется обоснованной корректность использования процедур теоремы умножения вероятностей.

Процедуру альтернативного определения вероятности отказа системы на отрезке [0, ] начнем с того, что примем для математической модели надежности агрегатов функциональных систем, известное распределение с равномерной плотностью вероятности (рис. 3.1), а параметр потока отказов w постоянным, как это рекомендовано в [55].

Рисунок 3.1 – Зависимость вероятности отказа

и параметра потока отказов от времени при

распределении с равномерной плотностью

Параметр потока отказов – величина обратная средней наработке на отказ, т. е. имеет место равенство

.

Интегральная функция вероятности отказа агрегата при распределении равномерной плотности имеет вид

. (3.3)

Тогда, положив t = 1, можно утверждать, что вероятность отказа за единицу времени (например, 1 час) численно равна параметру потока отказов w, т. е.

(3.4)

Заметим, что интегральная функция q (t) определяет вероятность реализации отказа агрегата на интервале времени от 0 до t, что вносит существенную неопределенность, с позиции анализа надежности агрегата, никак не конкретизируя момент реализации отказа. Некоторую дополнительную информацию о моменте отказа агрегата вносит плотность вероятности (дифференциальная функция) как производная от . В частности, при распределении с равномерной плотностью вероятности, она указывает на то, что отказ равновозможен в любой момент времени от 0 до t.

Рассмотрим предлагаемый альтернативный подход. Для этого положим в выражении (2.40) время час, и определим по альтернативной методике вероятность отказа тестовой системы при общем резервировании (раздел 2, рис. 2.14 б) в виде:

(3.5)

Остановимся подробнее на существе процедуры определения вероятности отказа на произвольном отрезке времени . Традиционно вероятность (τ) определяется как приращение интегральной функции вероятности отказа системы на этом отрезке. Для рассматриваемой, в качестве тестовой, системы это приращение функции (2.40) при общем резервировании. Недостатки такого подхода отмечены в разделе 2.

При определении значения (3.5) на систему наложено условие, что в течение одного часа в системе с вероятностью откажут 4 агрегата. Такое же условие наложено и при построении выражения (2.40) относительно вероятности , но в этом случае оно реализуется и на интервале [0, t ]. Одновременная реализация условий отказа системы на интервале [0, t ] и отказа на малом отрезке D t ® 0, реализуемом при построении дифференциальной функции вероятности отказа системы, невозможна. Следовательно, эти условия несовместны, т.е. возможно решение задачи расчета надежности либо на интервале [0, t ], либо только на отрезке , находящемся внутри этого интервала.

Задачи расчета надежности системы по интегральным функциям на большом отрезке [0, t ] и малом D t, D t [0, t ] несовместны в соответствии с условием ординарности. При определении отказа на отрезке [0, t ] условие ординарности должно быть выполнено и оно не допускает реализацию отказов на D t.

В процессе эксплуатации отрезок времени , на котором определяется надежность, может иметь различную протяженность. Системы самолетов имеют 2–3 кратное резервирование и являются системами, работающими с восстановлением. Так, если отказ агрегата имеет открытую для экипажа функцию, то после отказа в полете он заменяется при техническом обслуживании по замечанию экипажа. В этом случае, характерным временем для расчета надежности системы, является продолжительность типового полета. Если отказ имеет скрытую для экипажа функцию, то он будет обнаружен только при очередной проверке системы и характерное время определится периодичностью проверок.

Поскольку резервирование с восстановлением обеспечивает высокую надежность систем, то катастрофы, вызванные отказами именно систем, практически отсутствуют и нам не известны. Надежность систем, рассчитанная по статистическим материалам эксплуатантов и традиционному методу, оценивается вероятностью отказа 10^-9 – 10^-16 за 1 ч полета.

Если выражение (3.5) умножить на время t

(3.6)

то функция от t определит зависимость вероятности отказа системы от времени. Но ее смысл существенно отличается от заложенного в выражение (2.40), которое определяет зависимость вероятности отказа от t при условии, что на интервале [0, t ] откажут агрегаты, обуславливающие отказ системы. Выражение (3.6) тоже предполагает определение вероятности отказа системы в функции t, но при условии, что в течение каждого часа интервала [0, t ] будет выполняться условие ее отказа. Фактически это произведение вероятности отказа в течение 1 часа на число часов в интервале [0, t ].

Нетрудно получить выражение вида (3.6) для случая, когда за единицу времени принят не 1 час, а произвольная единица t. Наши исследования показали, что в этом случае для каждой t будет получена своя зависимость вероятности отказа системы от времени, т. е. построено поле таких зависимостей, что противоречит условию однозначности зависимости вероятности отказа от времени.

В соответствии с предлагаемым методом, возможно построение решения относительно вероятности отказа системы в дискретных значениях отказов агрегатов на интервале t, как этого требует теорема умножения вероятностей, после определения этих дискретных значений. Для этого интервал t необходимо принять за единицу времени (которая может быть различной, например, 1 час налета, среднее время типового полета, 1000 часов налета и т.д.) и применительно к ней определить параметр потока отказов в виде

.

Тогда, в соответствии с (3.3), вероятность отказа агрегата на интервале t, принятом за единицу времени будет иметь вид

, (3.7)

и вероятность отказа системы при общем резервировании будет

. (3.8)

Поскольку , выражение (3.8) формально подобно выражению (2.40). Отличие состоит в понимании, трактовке и использовании результатов расчетов.

Выражение (2.40) традиционно трактуется как интегральная функция вероятности отказа системы, по которой возможно определить текущее по t значение вероятности отказа, и вероятность отказа на отрезке t, как ее приращение на нем, а также вероятность отказа в течение 1 часа в форме дифференциальной функции (рис. 2.16). Выше было показано, что это ошибочные представления.

В соответствии с предлагаемым методом, выражение (3.8) не трактуется как интегральная функция вероятности отказа системы. Оно определяет вероятности ее отказа на дискретных интервалах времени [0, t], в том числе и при длительности интервала равной одному часу. В выражении (3.8), при изменении длительности интервала t, всегда понимается изменение параметра потока отказов w_t при единичном значении времени. В (3.8) время всегда равно 1, т.е. выражение не является функцией времени и вследствие этого вероятность отказа на отрезке t не зависит от его положения на оси времени. В (2.40) параметр потока отказов w принимается постоянным, а изменяется время t.

Сходство выражений (2.40) и (3.8) определяет получение одинаковых результатов только при расчете на равных интервалах, имеющих начало совпадающее с началом оси времени. При определении вероятностей отказа системы по традиционному методу на одинаковых отрезках t, произвольно расположенных на оси t, результаты расчетов существенно различны.

Так, ранее рассмотренная в работе система (рис. 2.14 б) в соответствии с традиционным подходом (2.40) на отрезке t протяженностью 1000 часов имеет вероятность отказа равную:

- 0,014 в диапазоне времени часов;

- 0,2 в диапазоне времени часов;

- 0,0256 в диапазоне времени часов;

- 0,0004 в диапазоне времени часов.

При альтернативном подходе, в соответствии с (3.8), вероятность отказа при t = 1000 часов равна 0,014 и не зависит от положения отрезка t на оси времени.

В первом случае выражение (2.40) рассматривалось как интегральная функция вероятности отказа (рис. 2.15) и в соответствии с ней на участке t=1000 часов в зависимости от его положения на оси t получены различные вероятности отказа.

Во втором случае по предлагаемой методике, выражение (3.8) представляет собой вероятность отказа на дискретных отрезках времени t.

В рассмотренном примере для агрегатов принято распределение с равномерной плотностью вероятности, при котором вероятности их отказов на отрезке t зависят только от его длины и не зависят от его положения на оси времени. Это свойство пуассоновского потока событий. Несмотря на нелинейность выражения (3.8) и вид рис. 2.15, при альтернативном подходе это свойство осталось присущим и системе.

Следует отдельно остановиться на правомерности традиционной интегральной функции вероятности отказа с позиций стационарности процесса эксплуатации и потоков событий отказов агрегатов. Практикой эксплуатации авиационной техники отечественного и зарубежного производства показано, что, при действующей системе технического обслуживания, потоки отказов агрегатов стационарны, т. е. параметры потоков отказов не зависят от времени работы системы (от налета часов). При этом момент, принятый за начало отсчета времени в выражении (2.40) и на рис. 2.15 является произвольным и может быть выбран любым. Т. е. реализуется не одна функция вида (2.40), принятая за интегральную, а поле таких функций (рис. 2.21). Любому произвольному моменту времени t будут соответствовать вероятности отказа системы в интервале от 0 до 1 в зависимости от момента начала отсчета времени.

***

Таким образом, интегральная функция вероятности отказа системы теряет смысл как оценка надежности. С точки зрения предлагаемого метода, правомерным является определение вероятностей отказа системы на определенных отрезках времени t, на которых значения вероятностей остаются независящими от начала отсчета времени. Это хорошо согласуется со стационарностью вероятности отказов агрегатов за единицу времени, реализуемой при стационарном процессе эксплуатации.