Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методика работы учителя по решению составных задач с пропорциональными величинами.

10 вопрос. Понятия «логическая задача», «комбинаторная задача». Приемы решения задач данных видов. Развивающий аспект уроков математики в начальной школе. Методика ознакомления младших школьников с нестандартными задачами (цели, содержание, характеристика учебного процесса). Комбинаторные задачи в курсе естественнонаучного цикла.

Логические задачи: Вся наша жизнь-это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Назначение логических задач – это тренировка умения мыслить логически. Среди других «крепостей царства смекалки» логические задачи стоят особняком. С одной стороны, они отличаются от обычных задач –загадок тем, что в них нет никакой игры слов, нет попыток ввести читателя в заблуждение. С другой стороны, они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения нужна в основном сообразительность, а не запас каких-то специальных знаний. Само собой разумеется, что решающий логические задачи должен постоянно иметь в виду такие очевидные истины: отец старше своего сына; в баскетбольной команде могут быть либо только мужчины, либо только женщины и т.д. Комбинаторные задачи: на практике часто приходится решать жизненные задачи, в которых имеются несколько решений. Например: шахматисту приходится выбирать из нескольких ходов наилучший, мастеру приходиться распределять различные виды работ между рабочими и т.д. Чтобы сделать правильный выбор надо осуществить перебор всех вариантов или посчитать их количество. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. А наука – комбинаторика. Впервые термин «комбинаторика» появился в трудах Лейбница в 1966 г. В комбинаторике существуют правила и формулы для подсчёта числа вариантов. Правила: 1)Правило суммы. Если объект а можно выбрать k способами, а объект b можно выбрать m способами, то объект a или b можно выбрать k+m способами. Пример: Задача № 1: на тарелке лежат 3 яблока и 4 груши. Сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? В этой задаче множество яблок и груш не пересекаются, т.е. ХΩY=Ǿ. Задача решается по следующей формуле: n(XυY)=n(X)+n(Y). 4+3=7 (способов). Задача № 2: 20 человек знают английский язык; 10-немецкий; 5 человек –английский и немецкий языки. Сколько всего человек? При решении этой задачи множество Х и Y пересекаются, т.е. пересечение ХΩY≠Ǿ Используется формула: n(XυY)=n(X)+n(Y)- n(ХΩY). 20+10-5=25. 2)Правило произведения. Если объект а можно выбрать k способами, а объект b можно выбрать m способами, то пару (а, b) можно выбрать (k* m) способами. Пример: Задача № 1: есть 3 марки и 5 конвертов. Сколькими способами можно наклеить марку на конверт? 3*5=15 раз можно наклеить марку на конверт. Формулы, которые применяются при подсчете отдельных видов комбинаций (формулы размещений, перестановки, сочетаний). Пример: возьмем Х={a, b, c, d}. Составим упорядоченные пары: (a,a); (a,b); (a,c); (a,d); (b,b); (b,a); (b,c); (b,d); (c,c); (c,a); (c,b); (c,d); (d,d); (d,a); (d,b); (d,c). Таких пар 16. Можно также составлять не только пары, но и тройки, четверки элементов и т.д. В этом случае говорят, что составляется упорядоченная n -ка элементов – кортеж. Количество, число элементов (n) называется длиной кортежа, а элементы – его компонентами. В задаче из 4-х элементного множества, кортеж длиной 2. Кортеж длиной k, составленный из n -элементного множества Х называют размещением с повторениями из n -элементов по k. Обозначают размещение буквой А. =n^k- размещение с повторениями. Пример: =4²=16. Пример: Задача № 1: есть цифры 1,2,3,4. Сколько можно составить 3-х значных чисел из данных цифр? Решение: =4³=64. Рассмотрим множество Х={х₁; х₂; х₃; …х_n}. Элементы данного множества можно упорядочить по-разному. Упорядоченное множество –это частный случай кортежа. Пример: Задача № 1: сколькими способами можно рассадить 3-х гостей на 3-х стульев. Гостей можно рассадить так: 1-ого на 3-х стульях; 2-ого на 2-х стульях; 3-ого-1 стул. Т.е. 3*2*1=6 способами. Произведение первых n -натуральных чисел в математике называют n -факториал и записывают n! Пример: = =90. При решении задачи № 1 использовали формулу перестановок без повторений: Р₃=3! Различные упорядочения n- элементного множества называют перестановками без повторений из n- элементов обозначают Р_n=n!- формула перестановок без повторений. Пример: Задача № 2: сколько разных слов (сочетаний) можно составить из букв в слове (математика). Смысл безразличен. При решении этой задачи формулой перестановок без повторений воспользоваться нельзя. Чтобы решить задачу понадобиться новая формула перестановок с повторениями. Р_n(n₁,n₂,n₃,…n_k)= .Кортеж составленный из k неповторяющихся элементов n -элементного множества называют размещением без повторений, обозначают = .Пример: Задача № 3: сколькими способами можно сшить 3-х цветный флаг, если имеются 5 различных цветов ткани. Решение: = = =3*4*5=60. Рассмотрим 4-х элементное множество Х={a,b,c,d}. Составим различные подмножества из 3 элементов. (abc,abd,bcd,acd)-4 варианта, т.е. из элементов множества можно образовывать не только кортежи разной длины, но и неупорядоченные подмножества, их называют сочетаниями без повторений из n -элементов по k. Обозначают = . Замечание: при решении задач не путать формулы размещения и сочетания без повторений: в задачах с размещением важен порядок; в задачах с сочетаниями порядок не важен. Пример: задача № 4: есть 4 книги. Сколькими способами можно скомпоновать набор из 2-х книг, если имеется 4? Решение: = = =6.

Вопрос. Числовые выражения. Выражения с переменной. Числовые равенства и неравенства. Алгебраический материал в начальной школе (цели, задачи, краткий сравнительный анализ содержания современных программ обучения математике). Методические особенности ознакомления младших школьников с числовыми и буквенными выражениями, с понятиями «равенство» и «неравенство».

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, арифметических действий и скобок. В результате выполнений арифметических действий мы получаем значение числового выражения. Для того чтобы выполнить арифметические действия в числовом выражении существуют 2 правила: 1) Если выражение не содержит скобок, то надо разделить на части отделённые друг от друга знаками сложения и вычитания, вычислить значение каждой такой части, выполняя действия умножения или деления слево на право и по порядку; после этого заменить каждую часть его значением; затем выполнить сложение и вычитание слево на право и по порядку. Пример: 18*3-6:2+24*3-5+18*3=172. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняется действие в скобках, а затем за скобками, придерживаясь первого правила. Пример: ((36:2-14)*(42*2-14)+20):2=150. Не во всех случаях можно найти значение числового выражения. Замечание: число также является числовым выражением. Выражения с переменной. Выражением с одной переменной называется такое выражение, которое содержит в себе числа, знаки арифметических действий, скобки и буквы. Букву называют переменной. Вместо переменной в выражение можно подставлять конкретные значения. Те значения переменной при которых выражение имеет смысл называются областью определения данного выражения. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при любых допустимых значениях переменной. Пример: 5а+3и 4а-2-нетождественно равны. Для того чтобы из одного выражения получить тождественно равное используют тождественные преобразования: 1)Раскрытие скобок; 2)Вынесение общего множителя за скобку; 3)приведение подобных слагаемых; 4)Применение формул сокращенного умножения. Числовые равенства и неравенства. Пусть А и В – числовые выражения, если между ними поставить знак равно, то получим числовое равенство, если поставить знаки >; <; ≥; ≤- то получим числовые неравенства. Неравенства бывают строгими (>; <) и нестрогими (≥; ≤). Свойства числовых равенств: 1) К обеим частям истинного числового равенства можно прибавить (вычесть) одно и тоже числовое значение. Если а=в, то а с=в с. 2) Обе части истинного числового равенства можно умножить (разделить) на одно и тоже числовое значение. Если а=в, то а(*/:)с=в(*/:)с. Свойства числовых неравенств: 1) Если а>в, то а-в>0. 2) Если а>в, х>y, то а+х>в+y. И а*х>в*y. 3) К обеим частям истинного числового неравенства можно прибавить (вычесть) одно и тоже числовое выражение и при этом знак неравенства не изменится. Если а>в, то а+с>в+с. 4) Обе части истинного числового неравенства можно умножить на положительное число и при этом знак неравенства не меняется; при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Если а>в, с>0, то а*с>в*с. Если с<0, то а*с<в*с. Алгебраический материал в начальной школе. Введение элементов алгебры в начальное обучение математике имеет своей целью, главным образом, более полное и более глубокое раскрытие арифметических понятий. Цели: 1) Подготовка к изучению основных понятий современной математики (переменная, неравенство, уравнение). 2) Формирование у детей способности к обобщению и абстракции. 3) Использование алгебраического материала как средство для формирования осознанных вычислительных навыков. Основные задачи: 1) Сформировать у учащихся умение читать, записывать и сравнивать числовые выражения. 2) Способствовать формированию умения вычислять числовые выражения, в соответствии с правилами выполнения порядка действий. 3) Сформировать у учащихся умение читать, записывать и находить значения простейших буквенных выражений. 4) Добиваться осознанного выполнения тождественных преобразований выражений на основе свойств арифметический действий. 5) Научить решению простейших уравнений. 6) Формировать умение устанавливать отношения больше, меньше или равно между выражениями, читать и записывать равенства и неравенства с помощью особого знака. Алгебраический материал не выделен в качестве самостоятельного раздела, а равно распределен по всем годам обучения. Основными понятиями является: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Определения этим понятиям не дается. Они усваиваются на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений. К простейшим числовым выражением следует относить в первую очередь сумму и разность чисел, с которыми дети знакомятся в первом классе, а также произведение и частное во втором классе. Дети учатся читать, записывать такие выражения, вычислять их значение. При изучении вычислительных приемов 2 учащегося подводят к выводу о порядке действий, выражающих содержание действия одной ступени. 4+2+1-действие выполнено слево на право. В дальнейшем эти знания обобщаются и вводится правило для выражения содержания действия разных ступеней: сначала вычитание, умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Также выделяются буквенные выражения при их изучении предусмотрено проведение подготовительных работ по раскрытию смысла переменной. Дети знакомятся с записями, содержащими окошки. 1*; +2=.Предлагается система упражнений с включением буквенных выражений, которые сопровождаются словесной формулировкой. Значительное место в курсе математики уделяют изучению равенств и неравенств. Уже в первую неделю обучения в 1классе дети выполняют упражнение на установление отношений больше, меньше, столько же между натуральными числами. При сравнении выражений дети постепенно переходят от опоры на наглядность к сравнению их значений. Для записи неравенств с переменной в начальных классах используется окошечко. Здесь основной способ решения -способ подбора <5. В этом случае предлагается выбрать числа из некоторого множества. Методика изучения математических выражений. В методике ознакомления учащихся с понятием выражение можно выделить 3 основных этапа: 1) Формирование понятия простейших выражений, содержащих одно действие. 2) Выражение, содержащее 2 и более действий одной ступени. 3) выражение, содержащее 2 и более действий разных ступеней. Выражение – это построенная по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними. Цифра число выражение. 1 этап. Особенностью работы с выражением на этом этапе явл-ся то, что знаки +,-, поставленные между числами, имеют двоякий смысл. С одной стороны, эти знаки обозначают действие, которое нужно выполнить над числами, с другой стороны, эти знаки служат для обозначения (именования) самого выражения (сумма, произведение, разность, частное). Сначала учащиеся знакомятся с термином сумма в значении числа, являющегося результатом действия сложения. 5+2=7. Затем этот термин используют для названия выражения. 5+2 (сумма)=7(сумма). Для усвоения новых терминов используют различные упражнения: 1)Записать сумму чисел 7 и 2. 2)Вычислите сумму чисел 3 и 5. 3)Прочитай те запись 7+3. 4)Замените число 9 суммой 2-х чисел. Аналогичная работа будет проводится с выражениями разность, произведение, частное. 2 этап. С выражениями, содержащими 2 и более действий встречаются в концентре десяток. Записи вида 7+1+2, понимают так: к 7 прибавили 1 и потом ещё 2. Здесь действия выполняют по порядку слева на право, для изменения порядка выполнения действий в таких выражениях используют скобки. 8*(4:2). 3 этап. 2-х и более действий разных ступеней. На этом этапе основная проблема связана с правилом о порядке действий в выражениях, содержащих действия разных ступеней (без скобок). Правило: Возможны различные варианты, подводящие детей к этому правилу: 1) Учитель может просто сообщить это правило, т.к. оно принято по договоренности. 2) Дети самостоятельно изучают по учебнику правила, а затем объясняют как вычислять. 3) Учитель предлагает детям найти значения конкретных выражений: 50+10:5. Здесь дети могут получить разные ответы. Затем обсуждается как надо поступать в таких случаях, приходят к выводу, что необходимо правило. Правило: Сначала выполняем действие умножения и деления, а затем сложения и вычитания. Для усвоения данного правила полезно давать задания на нахождение ошибок. После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, измени порядок действия так, чтобы неправильный ответ стал правильным. Для прочного усвоения правила полезно давать задание творческого характера: 1) Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными. 2) Расставьте знаки действий. 38*3+7=48. 3) Расставьте скобки и знаки действий. Учащиеся должны уяснить, что значение выражения зависит от порядка действий, которое регламентируется правилом. Если действие разных ступеней, то сначала выполняется умножение и деление (действие 1 ступени), а затем сложение и вычитание (действие 2 ступени). Методика изучения равенств и неравенств. Понятие о равенстве и неравенстве раскрывается во взаимосвязи, органически сочетаясь с изучением нумерации и арифметических действий. В результате учащиеся должны научиться: 1) Устанавливать отношения больше, меньше или равно между выражениями. 2) Записывать результат сравнения с помощью знака. 3) читать получившееся равенство или неравенство. Методика формирования таких представлений предусматривает следующую этапность в работе: 1 этап. Первоклассники выполняют упражнения на сравнение совокупности предметов, используя прием взаимного, однозначного соответствия. Результат сравнения с помощью знака, пока не записывается. Способы сравнения: 1) Наложение данных объектов. 2) Приложение. 3) Установление пар. Это самые первые упражнения. 2 этап. Учащиеся выполняют сравнения чисел, опираясь на предметную наглядность, а затем на свойства чисел натурального ряда в соответствии с которым из 2-х различных чисел больше то, которое при счете называем позже и меньше то, которое называем раньше. Здесь впервые вводятся соответствующие знаки. 4>3. При расширении понятия числа в концентрах сотня, тысяча и многозначные числа для сравнения чисел используют поразрядный способ: 1) Если количество разрядов в записи сравниваемых чисел разное, то рассуждаем так: из 2-х чисел больше (меньше) то, значность которого больше (меньше). Значность – это количество знаков. 2) Если значность (количество разрядов) сравниваемых чисел одинакова. Здесь необходимо сравнить количество единиц соответствующих разрядов, начиная со старшего. Наибольшую трудность вызывают у детей сравнение именованных чисел, т.к. для их сравнения необходимо предварительно выразить числа в одинаковых единицах измерения, а затем сравнивать как отвлеченные числа. 3 этап. Дети учатся сравнивать выражения. 1) Сначала дети учатся сравнивать выражения и число. Первые такие упражнения полезно выполнять с опорой на наглядность. 3+1<5. При переходе от неравенства к равенству используем прием уравнивания. (3 грибочка и 2 яблока). Как уравнять? Добавить ещё 1 яблоко или убрать 1 грибок. Впоследствии высчитывают значение выражения и сравнивают. 2) Сравнение 2-х выражений. Основной способ сравнения – сравнение их значений. Например: 300*7 и 655:5. 2100>131. Значит 300*7>655:5. Однако, можно опираться на знание законов и свойств: 1) Взаимосвязь между компонентами и результатов действия. Например: 3281+16>3281+12. 2) Законы арифметического действия: (16+8)*3=16*3+8*3. 3) Смысл действия умножения: 4+4+4+4>4*3.

12 вопрос. Уравнения и неравенства с одной переменной (определение, теорема равносильности, способы решения). Сравнительный анализ содержания современных программ по ознакомлению младших школьников с уравнением и различными приемами его решения. Методические особенности работы учителя на различных этапах обучения младших школьников решению уравнений. Уравнение с одной переменной называется равенство двух выражений с одной переменной. 2х+3=-5х+1.Уравнение с одной переменной называется одноместный предикат вида F₁(х)=F₂(х)(1), где х€Х. Для того, чтобы решить уравнение, это значит найти такие значения переменной, при которых данное равенство будет истинно (эти значения называют корнями уравнения). По второму определению надо найти множество истинности предикатов F(x), F₂(x). Перед тем как решать уравнение надо найти область определения уравнения или область допустимых значений. Область определения – это множество таких значений переменной, при котором выражение имеет смысл. Два уравнения называются равносильными, если они определены на одном и том же множестве и множество их решений равно. Пример: х-2=3 и 2х-4=6 ОДЗ: R. Х=5. Теоремы о равносильности уравнений: 1 теорема: пусть дано уравнение вида F₁(х)=F₂(х) (1), h(x)и выражение с переменной, определенные на одном и том же множестве Х. Тогда уравнение вида F₁(x)+h(x)=F₂(x)+h(x)(2) будет равносильно первому. Для доказательства теоремы надо проверить выполнимость двух условий: 1)ОДЗ –совпадает. 2)Множество корней равны. Первое условие выполняется, т.к. это следует из формулировки теоремы (определены на одном и том же множестве). Для того чтобы доказать выполнимость второго условия надо доказать, что множество корней первого уравнения (Т₁) и множество корней второго уравнения (Т₂) равны, т.е. Т₁=Т₂. Для того чтобы доказать, что Т₁=Т₂, надо доказать, что: первое подмножество второго и наоборот: 1) Т₁€Т₂. 2) Т₂€Т₁. 1 часть. Возьмём корень первого уравнения (а) и подставим его в само уравнение. F₁(а)=F₂(а)- получили числовое выражение слева и справа. По первому свойству числовых выражений получим F₁(а)+h(а)=F₂(а)+h(а). Полученное равенство по виду одинаково со вторым уравнением. Значит (а)-корень второго уравнения, т.е. Т₁€Т₂. 2 часть. Возьмем корень (в)-2-ого уравнения. F₁(в)+h(в)=F₂(в)+h(в)- h(в). По свойству числового равенства вычтем из обеих частей h(в). F₁(в)=F₂(в)-вид первого уравнения, т.е. в-корень 1-ого уравнения, т.е. Т₂€Т₁. Итак, Т₁€Т₂, Т₂€Т₁, Т₁=Т₂. Значит множество корней равны. Оба условия выполняются, значит уравнения 1 и 2 равносильны. 2 теорема: Пусть дано уравнение вида F₁(х)=F₂(х)(1),и выражение с переменной, определенной на одном и том же множестве Х. Тогда уравнение вида F₁(x)+h(x)=F₂(x)+h(x)(2)-будет равносильно первому. Доказывается аналогично первой теории, используется второе свойство числовых выражений. Неравенства с одной переменной. Два выражения с одной переменной, соединенные знаками >,<, ≥,≤ называются неравенства с одной переменной. Чтобы решить неравенство, значит найти множество значений переменной (х). при подстановки которых неравенство будет истинным. Два неравенства называются равносильными, если они определены на одном и том же множестве и множество их решений равны. Теоремы о равносильности неравенств. 1 теорема: Пусть дано неравенство вида F₁(х)=F₂(х)(1), и выражение с переменной h(x) определенном на одном и том же множестве Х. Тогда неравенство F₁(x)+h(x)=F₂(x)+h(x)(2)- будет равносильно первому неравенству. 2 теорема: Пусть неравенство вида F₁(х)>F₂(х) и h(x)>0 – определенные на одном и том же множестве Х. Тогда F₁(x)*h(x)>F₂(x)*h(x)(2)-будет равносильно первому. 3 теорема: Пусть неравенство вида F₁(х)<F₂(х) и h(x)<0-определенные на одном и том же множестве Х. Тогда F₁(x)*h(x)<F₂(x)*h(x)(2)-будет равносильно первому. Все теоремы доказываются аналогично первой, используя свойства числовых неравенств. Методика изучения уравнений. Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики является обеспечение преемственности между начальном и среднем звеном общеобразовательной школы. Этапы: 1) Подготовительный. Началом работы могут служить примеры с окошками +3=7. В которые дети подбирают подходящие числа, ориентируясь сначала на состав числа, а затем на связь компонентов и результата действия 7-сумма, 3-второе слагаемое, неизвестно-первое слагаемое. В методической науке нет однозначного ответа на вопрос, когда целесообразно надо знакомить младших школьников с уравнением. Первая точка зрения: познакомить как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил взаимосвязи компонентов и результата действия. Другая точка зрения: приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию ии правила, которыми они будут пользоваться при решении уравнений. В методике существуют различные взгляды на то, когда проводить работу по ознакомлению детей с уравнениями. С одной стороны предлагается познакомить детей с уравнением в 1 классе уже при изучении однозначных чисел и на этой основе формировать у детей знания о взаимосвязи между компонентами и результатами действия. Авторы других подходов наоборот предлагают сначала выяснить вопрос, связанный с компонентами действий их взаимосвязью, и только после этого приступать к решению уравнений. Новыми программами по математике сформулированы требования к результатам по обучению школьников решению уравнений: каждый ребенок обязан решать простейшие уравнения и необходимо предоставлять возможность работать с уравнением более сложными по структуре. Программа 2100, гармония, Занкова на примере сложных уравнений развивают у детей такие УУД, как анализ, планирование, контроль над своими действиями.

13 вопрос. Геометрический материал, изучаемый в начальной школе (основные понятия, геометрические фигуры, их признаки и свойства; геометрические величины). Методика изучения геометрического материала в начальной школе (цели, содержания, особенности организации процесса овладения содержанием, методические приёмы работы учителя).

Геометрия возникла в глубокой древности в связи с простейшими потребностями человека (строительства жилищ, изготовление орудий труда и охоты, позже для нахождения площадей земельных участков). Слово геометрия произошло от греч. «Гео» - земля, «метрио»- мерею –землемерие. Развитее земледелия, строительства, ремёсел стали требовать от людей умений вычислять площади и объёмы некоторых фигур, а также знать их свойства. Начиная с 7 века до нашей эры, происходит переход от практической геометрии к теоретической. Отрывочные, имперические знания постепенно превращаются в систему с определёнными правилами и положениями. Таким образом, возникла наука отвлечённая от физических свойств предметов, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур в пространстве (на плоскости) в геометрии- основной дедуктивный метод (логический). Однако присутствует и индуктивный метод (опытный). В школьном курсе геометрии различают 2 раздела: планиметрия (на плоскости) и стереометрия (в пространстве). К фигурам в планиметрии относятся треугольник, квадрат, прямоугольник; фигуры стереометрии – объёмные (цилиндр, конус, сфера). Курс геометрии построен аксиоматически, т.е. 1) Даются основные понятия (неопределяемые) - точка, прямая – в планиметрии. 2) На основе введенных основных понятий даются определения всех остальных понятий. 3) Формируются основные свойства фигур, которые называются аксиомами. 4) На основе определения аксиом выстраивается дальнейшая теория, доказываются утверждения, называемыми теоремами. Важнейшим понятием геометрии являются понятие геометрической фигуры. Геометрической фигурой называется всякое не пустое множество точек. Понятие «множество» и «точка» являются не определяемыми. В геометрии изучается конечное множество точек (фигуры), а также бесконечное множество (прямая, луч).