Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математическое ожидание

Для более наглядного определения математического ожидания (среднего значения) случайной величины рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина X с возможными значениями и вероятностями этих значений . В качестве примера X рассмотрим случайную величину — количество правонарушений за сутки. Каждое из значений (отмечено 0; 1;... нарушений) будет наблюдаться некоторое число раз. Обозначим эти числа через . Очевидно, что сумма .

Таким образом, имеем n наблюдений за случайной величиной X, т. е. выборку объема n. Определим выборочное среднее арифметическое:

Здесь индекс n при обозначает, что среднее арифметическое вычислено по n наблюдениям.

Теперь представим, что испытание, состоящее в регистрации количества правонарушений, повторяется неограниченное число раз. Здесь, абстрагируясь от физической реализуемости такого эксперимента, будем считать, что наблюдению доступна вся теоретически бесконечная генеральная совокупность значений случайной величины X.

Согласно статистическому определению вероятности, данному в разделе 4.2.2, относительные частоты событий стремятся к их вероятностям при неограниченном повторении испытания.

Поэтому в пределе при

Таким образом, выборочное среднее арифметическое случайной величины X стремится при неограниченном повторении испытания (при неограниченном увеличении объема выборки) к некоторому постоянному числу, так как в последней сумме x _i и р _i — постоянные числа. Это число носит название математического ожидания (среднего значения) случайной величины.

Математическое ожидание обозначает как или .

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме всех ее возможных значений, умноженных на вероятности этих значений:

(4.16)

В этой записи означает, что суммирование производится по всем возможным i.

Только что рассмотренный пример показывает, что математическое ожидание — абстрактное понятие. Оно является теоретическим аналогом выборочного среднего арифметического.

Математическое ожидание равно среднему значению генеральной совокупности.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется с помощью плотности вероятностей по формуле:

(4.17)