Читайте также:
|
Большинство экспериментальных исследований, в том числе и в области правоведения, связано с измерениями, результаты которых могут принимать практически любые значения в заданном интервале и, как уже было отмечено, описываются моделью непрерывных случайных величин. Поэтому в дальнейшем будут рассматриваться в основном непрерывные случайные величины и связанные с ними непрерывные распределения.
Одним из непрерывных распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике, является нормальное, или гауссово*, распределение.
Нормальное распределение является самым важным в статистике. Это объясняется целым рядом причин.
1. Прежде всего, многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью нормального распределения. Следует сразу же отметить, что не существует распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными, поскольку (как будет показано ниже) нормально распределенная случайная величина находится в пределах от 
до 
, чего никогда не бывает на практике. Однако нормальное распределение очень часто хорошо подходит как приближение.
Проводятся ли измерения IQ, роста и других физиологических параметров — везде на результаты оказывает влияние очень большое число случайных факторов (естественные причины и ошибки измерения). Причем, как правило, действие каждого из этих, факторов незначительно. Опыт показывает, что результаты именно в таких случаях будут распределены приближенно нормально.
2. Нормальное распределение хорошо подходит в качестве аппроксимации (приближенного описания) других распределений (например, биномиального).
3. Многие распределения, связанные со случайной выборкой, при увеличении объема последней переходят в нормальное.
4. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивших его широкое применение в статистике.
В то же время следует отметить, что в природе встречается много экспериментальных распределений, для описания которых модель нормального распределения малопригодна. Для этого в математической статистке разработан ряд методов, некоторые из которых приводятся в следующих главах.
Говорят, что с.в. распределена по нормальному закону с параметрами 
и 
и записывать 
если ее плотность вероятностей задается следующим образом
(4.23)
График плотности (нормальная кривая) представлен на рис. 4.10.
Укажем основные свойства нормального распределения 
.
1. Нормальная кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки 
, с точками перегиба, абсциссы которых отстоят от 
на 
.
2. Для нормального распределения математическое ожидание 
, дисперсия равна 
и, следовательно, стандартное отклонение равно 
.
3. Как видно из выражения (4.23), нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: и — математическим ожиданием и стандартным отклонением.
График плотности вероятности нормального распределения показывает, что для нормально распределенной случайной величины вероятность отклонения от среднего значения быстро уменьшается с ростом величины отклонения.
4. Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию .
5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю (
, 
).
Последнее свойство (5) используется для проверки предположения о нормальности распределения генеральной совокупности (гл. 6).
Рис. 4.10. Плотность вероятностей нормального распределения
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 95 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |