Читайте также:
|
Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при чем 1-ый элемент повторяется n1 раз, 2-ой – n2 … k-ый – nk раз, причем n=n1+n2+…+nk.
Перестановками из n элементов данного множества называют перестановками с повторениями (с возвращениями) из n элементов, число которых вычисляется по формуле:
Пример 5:
Сколько различных 5-значныз чисел можно составить из: 3,3,7,7,9 
Если при выборе m элементов из n элементов возвращаются обратно и упорядываются, то говорят, что это размещение с повторением.
Размещение с повторением могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством. Число таких размещений.
Пример 6:
Сколько 5-значных чисел можно составить из цифр 2,3,7,9:
Если при выборке m элементов из n элементов возвращаются, но не упорядываются, то говорят, что это сочетание с повторением:
Пример 7:
Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличие есть цветы трех сортов.
m=5, n=3
Условия вероятности. Вероятность произведения событий.
Пусть А и В-события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного из этих событий (А) может повлиять на появление одного из другого события (В). Для характеристики зависимости одного события из другого вводят понятие условной вероятности.
Условной вероятностью события (В) при условии, что событие (А) уже произошло называется отношение вероятности произведения событий А и В к вероятности события (А):
Р(В/А) = Р(АВ)/Р(А) (1)
Вероятность Р(А) в отличии от условной вероятности наз. безусловной вероятностью.
Аналогично, вероятность события (А) при условии, что событие (В) уже произошло определяют формулой:
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) (2)
ПРИМЕР: В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из них вытаскивают 2 шара. Какова вероятность того, что 2ой шар будет белый, при условии, что 1ый есть черный.
ПУСТЬ: А - 1ый шар черный;
В – 2ой шар белый
Р(А) = 7/10
Р(В)А = 3/9 = 1/3.
Р(АВ) = Р(А/Р(В/А)) = Р(В)*Р(А/В) (3)
Вероятность произведений 2х событий равна произведению безусловной вероятности одного из событий на условную вероятность 2ого события, при условии, что 1ое произошло.
Выражение (3) наз. правилом условной вероятности. Для случая большого числа соб. А1, А2,..., Аn. Это правило записывают в виде Р(А1, А2, …, Аn) = Р(А1)*Р(А2/А1)*Р(А3/А1А2)* … *Р(Аn/А1А2Аn-1).
Правило условности имеет более простой вид, если рассматривать события независимыми, т. е. условная вероятность события равна его безусловной вероятности.
Р(А/В) = Р(А)
Р(АВ) = Р(А)*Р(В) или для случая n независимых событий имеет вид:
Р(А1*А2* … *Аn) = Р(А1)*Р(А2)* … *Р(Аn)
Из свойств вероятности известно, что вероятность суммы 2х несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Вероятность суммы 2х совм. событий опр. выражение:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
А В
АВ
Для 3х событий А, В, С: Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)
В
АВС
С
А
Формула полной вероятности.
Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.
События А1,А2…,Аn образуют полную группу, если Аi*Аj≠ɸ, i≠j и 
. Систему таких событий называют разбиением
Теорема:
Пусть события Н1,Н2,…Нn образуют полную группу. Тогда для любого, наблюдаемого в опыте события А имеет место формула полной вероятности.
P(A)=∑P(A ∣ Нi)*P(Нi).
Т.к. Н1+Н2+…+Нn=Ω, то в силу свойств операций над событиями А=А*Ω=А*(Н1+Н2+…+Нn)=А* Н1+А* Н2+…+ А* Нn. Из того, что Нi*Нj= ɸ следует, что (А*Нi)*(А* Нj)= ɸ, i≠j, т.е. события А*Нi и А* Нj также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А* Н1)+Р(А* Н2)+…+Р(А* Нn) т.е. Р(А)= 
. По теореме умножения вероятностей Р(А*Нi)= P(A ∣Нi)*P(Нi).
События Н1,Н2…Нn обычно называют гипотезами, они исчерпывают все возможные предположения(гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, события А-один из возможных исходов второго этапа. ЖОПА.
Пример: В сборочный цех поступает 40% деталей из цеха 1 и 60% из 2 цеха. В 1 цехе производится 90% стандартных деталей, а во 2-95%. Найти вероятность того, что взятая на удачу сборщиком деталь окажется стандартной.
Решение: Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый- выбор цеха. Имеется две гипотезы:Н1-деталь изготовлена цехом 1, Н2-2 цехом. Второй этап взятие детали. Событие А-взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н1,Н2 образуют полную группу, Р(Н1)=0,4, Р(Н2)=0,6. Числа 0,90 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез Н1 и Н2 соответственно, т.е. Р(А|Н1)=0,90 и Р(А|Н2)=0,95. По формуле полной вероятности находим Р(А)= 
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 97 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |