Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ренты, выплачиваемые на интервалах времени r, где r>1.

Предположим, что и - целые числа большие 1, и рассмотрим ряд выплат, каждая по , в моменты . Определим, какова стоимость этого ряда выплат в момент 0 при процентной ставке в единицу времени.

Ситуация иллюстрируется рисунком:

Заменим платёж в момент рядом из платежей, каждый размером , в моменты , где выбирается так, чтобы сделать стоимость этих выплат равной стоимости единственного платежа .

Это означает, что

или

. (1)

Аналогично и далее. Тогда исходный ряд выплат в е моменты времени по каждая имеет ту же величину, что и ряд выплат по в единичный временной интервал. Следовательно, стоимость ренты составляет:

. (2)

Пример 4.3.1: Инвестор желает купить ренту в £120 в год, выплачиваемую поквартально в течение 5 лет. Найти цену покупки, если ставка процента 12% в год

а) эффективная;

б) конвертируемая раз в полгода;

в) конвертируемая поквартально;

г) конвертируемая ежемесячно.

Решение:

а) Стоимость

;

б) Так как ставка процента – номинальная, конвертируется раз в полгода, то мы имеем полгода в качестве единицы времени и 6% - ставка процента. Рента, выплачиваемая дважды за полгода для 10 полугодов по ставке £60 за полгода. Следовательно

;

в) ;

г) .

Пример 4.3.2: На основе эффективной процентной ставки , строительное общество делает заём, который выплачивается равными частями в конце года. Для любого размера займа и срока выплаты строительное общество просит такую же годовую выплату, что и , но требует, чтобы выплаты делались кратно по факту (). Показать, что какой бы срок выплат не был, эффективная процентная ставка за год, получаемая больше чем

.

В частном случае, когда и , найти эффективную процентную ставку за год на заём общества , когда срок

а) 10 лет;

б) 25 лет.

Решение: Пусть срок займа лет и возвращаемая сумма . Ежегодная выплата для каждого общества , следовательно, эффективная процентная ставка за год на заём общества есть , где

или , что определяет .

Левая часть этого уравнения – монотонно убывающая функция . Поэтому для того, чтобы показать, что его корень больше , достаточно показать, что когда , то левая часть уравнения больше правой. Заметим, что

.

Следовательно

,

так как . , что и требовалось доказать. Таким образом, .

В частности это показывает, что если и , то эффективная процентная ставка за год на заём общества всегда больше, чем 8,3%.