Читайте также:
|
Предположим, что на капитал 
, вложенный в момент 0, инвестор будет получать 
выплат, каждая на сумму 
, в моменты 
в дополнение к выплате в момент своего начального вложения. Таким образом, вклад генерирует доход в конце каждого периода. Интуитивно мы можем говорить о 
как о доходе за единицу времени на вклад (инвестицию).
Мы желаем определить принцип дохода для широкого класса инвестиций. Для того, чтобы это сделать требуется определить уравнение стоимости связанное с любой сделкой.
Рассмотрим сделку, которая обеспечивает, что на вложения сумм 
в моменты 
инвестор будет получать выплаты 
в те же моменты соответственно(в большинстве случаев только одно из 
или 
будет не нуль).
Какая интенсивность ил ставка процента делает ряд вкладов, имеющих ту же величину(стоимость) как и ряд выплат. Для интенсивности процента 
два ряда имеют равную величину тогда и только тогда, когда
(3.2.1)
или
, (3.2.2)
где 
- это сумма чистого потока наличности в момент 
(отрицательный поток денег соответствует вкладу инвестора, а положительный – выплате ему).
Уравнение (3.2.2) называется уравнением стоимости для интенсивности процента , следующей из сделки. Если положить 
, то уравнение может быть переписано в виде:
. (3.2.3)
Это уравнение стоимости для ставки процента или уравнение дохода. В других терминах уравнение (3.2.3) имеет вид:
( может быть бесконечным)
Если 
и 
ставки платежей и выплат в момент 
, то 
- это чистая ставка потока денег в момент . Уравнение стоимости соответствует уравнению (3.2.2)
(3.2.4)
Когда имеются как непрерывные, так и дискретные потоки денег, то уравнение стоимости
(3.2.5)
и эквивалентное уравнение дохода
. (3.2.6)
Для любой сделки уравнение (3.2.5) может не иметь корней, единственный корень или несколько корней(рассматриваем только действительные корни). Если существует единственный корень, то его называют 
и он известен как интенсивность процента, вытекающая из сделки, и соответствующая ставка процента 
называется доходом за единицу времени(альтернативные термины для дохода: внутренняя ставка на капитал и денежно-взвешенная ставка на капитал). Таким образом, доход определяется ТТ уравнение (3.2.6) имеет точно один корень больший чем 
, и когда такой корень существует – это доход. Существует важный класс сделок, когда доход всегда существует.
Теорема 3.2.1:
Для любой сделки, в которой все отрицательные чистые потоки денег (наличности) предшествуют всем положительным чистым потокам денег (или наоборот) доход определён.
Доказательство:
Для каждой сделки мы можем предположить без потери общности, что все отрицательные чистые потоки предшествуют всем положительным потокам. Существует индекс 
такой, что уравнение стоимости (3.2.2) может быть переписано в виде
, (7)
где 
, 
. (8)
Умножая (3.2.7) на 
, получаем
,
где
,
Так как 
, условия (3.2.8) ведут к тому, что 
- возрастающая функция , а 
- строго убывающая. Следовательно, 
- строго возрастающая функция. Следовательно,
, 
из чего следует, что уравнение стоимости имеет единственный корень.
Это завершает доказательство теоремы для дискретного случая. Доказательство
для непрерывного случая аналогично.
Хотя доход определяется, когда уравнение (3.2.3) единственный корень 
, иногда интересно рассмотреть сделки в которых уравнение дохода имеет единственный положительный корень. Существует один легко описываемый класс сделок, когда уравнение дохода имеет точно один положительный корень.
Теорема 3.2.2:
Предположим, что 
и рассмотрим сделку для которой инвесторский чистый поток денег в момент 
составляет 
(некоторые из множества 
могут быть отрицательными, некоторые - положительными). Пусть для 
,
где 
обозначает аккумулируемую общую сумму, получаемую инвестором после потока денег в момент . Предполагаем, что 
и 
ненулевые и что когда все нулевые величины исключаются, то оставшаяся последовательность 
содержит ровно одно изменение знака. В таком случае уравнение дохода имеет точно один положительный корень.
Примером этой ситуации может служить сделка, в которой все издержки инвестора предшествуют всем его прибылям, и общая сумма полученного превосходит общие издержки. Более общий пример даётся сделкой, которая обеспечивает инвестору получение 1, 8 и 4 в моменты 1, 3 и 4 соответственно в обмен на расходы 5 и 3 в моменты 0 и 2 соответственно. Тогда чистый поток денег задаётся последовательностью
и аккумулирующий общий чистый поток денег последовательностью
.
Так как эта последовательность содержит только одну перемену знака, то уравнение дохода имеет только один положительный корень равный 
.
Рассмотрим простую сделку, описанную в §3.1. В ней инвестор делает единственный платёж 
в момент 
для последующего получения выплат. Замеченное выше влечёт то, что доход определён и уравнение 
имеет единственный корень, где
.
Читатель должен проверить, что 
. Доход, таким образом, равен 
. Анализ уравнения стоимости для данной сделки иногда может быть сложным. Однако, когда уравнение такое, что 
- монотонная функция, его анализ особенно прост. Уравнение имеет корень, только тогда мы можем найти 
и 
с 
и 
противоположных знаков. В этом случае корень – единственный и лежит между и .
Заметим, что после умножения на 
уравнение (3.2.3) принимает эквивалентную форму
. (3.2.9)
Эта более общая форма может быть названа уравнением стоимости в момент 
.
Пример 3.2.1: На немедленный платёж £500 и £200 через 2 года инвестор получит £1000 через 5 лет. Найти доход на сделку.
Решение: Пусть 1 год будет единицей времени. Уравнение стоимости в момент
Это уравнение имеет единственный корень так как 
, а 
, следовательно, доход будет между 
и 
ежегодно. Первая аппроксимация для дохода получается линейной интерполяцией и составляет
или 
ежегодно.
Пример 3.2.2: На заём £100 заёмщик согласен выплатить £110 через 7 месяцев. Найти:
а) ежегодную ставку процента;
б) ежегодную ставку дисконта;
в) ежегодную интенсивность процента на сделку.
Сразу после получения заёма заёмщик должен выплатить £50 на установленную дату и второй платеж через 6 месяцев после этого.
Решение:
а) ставка процента задаётся уравнением
б) 
в) 
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 73 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |