Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ренты: текущие стоимости и накопления.

Рассмотрим ряд из платежей, каждый размером 1, которые должны быть сделаны через интервалы 1, платёж совершается в момент .

Стоимость этого ряда выплат в момент времени 0 называется настоящей (текущей) стоимостью и обозначается . Ясно, что если , то , иначе

(1)

Если , то . В рассмотренном случае первая выплата делается через 1 единицу времени от исходного момента 0, выплаты такого рода будем называть выплатами просрочкой.

Если же выплаты производятся в начале временных интервалов, то есть 1-я в момент и так далее, последняя в момент , то настоящая стоимость такого ряда выплат обозначается . Если , то , иначе

. (2)

Таким образом - стоимость в начале данного периода длины ряда из выплат, каждая по 1, которые делаются авансом на единичных интервалах на протяжении всего периода.

Из определения следует:

. (3)

Если выплаты производятся просрочкой, то стоимость ряда выплат на момент последней выплаты (в момент времени ) обозначается , если выплаты производились авансом, то их стоимость в момент обозначается .

Если , то , иначе

(4)

и

. (5)

Иногда и называются накоплением или накопленной суммой. Если , то и полагаются равными 0.

Из определения:

. (6)

Уравнения (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4), (3.3.5) могут быть записаны в виде:

(7)

соответственно. (Первое уравнение представляет собой уравнение стоимости в момент на заём единичной суммы на период от 0 до , когда процент выплачивается в начале интервалов.) Для фиксированной величины - убывающие по функции, а - возрастающие по .

Для фиксированной ставки процента - возрастающие по функции. Когда , то рента называется пожизненной(вечной). Таким образом, если

(8)

(9)

Пример 3.3.1: Заём £2400 должен быть возвращён 20 равными ежегодными частями. Ставка процента на сделку 10% ежегодно. Найти сумму каждого ежегодного платежа, предполагая, что платежи делаются:

а) просрочкой;

б) авансом.

Решение:

а) Пусть ежегодный платёж составляет £ X. Тогда:

б) Пусть ежегодный платёж составляет £ Y. Тогда: