Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

1) Очевидно, что при преобразовании 1^о получается система, равносильная данной (1. 2).

2) Выполним элементарное преобразование 2^о:

Уравнение с номером i (i -ое уравнение системы (1. 2)) умножим на число λ, отличное от нуля.

Получим систему линейных уравнений (1. 3), в которой i - ое уравнение будет

(1. 3),

а остальные уравнения те же, что и в системе (1. 2). Поэтому нет необходимости полностью записывать систему (1. 3).

Если ( есть произвольное решение системы (1.2), то это - решение каждого уравнения этой системы, в том числе и i - го уравнения.

Подставим эти же числа в левую часть i - го уравнения системы (1. 3):

(1.4).

Используя равенство (1. 4), имеем .

Следовательно, ( есть решение i - го уравнения системы (1. 3) и всех остальных ее уравнений, поскольку они те же, что и в системе (1. 2). Таким образом, всякое решение системы (1. 2) является решением преобразованной системы (1. 3).

Заметим, что систему (1. 2) можно получить из системы (1. 3) также при помощи элементарного преобразования 2^о.

Для этого нужно умножить i- ое уравнение системы (1. 3) на число . В соответствии с доказанным, всякое решение системы (1. 3) является решением системы (1. 2).

3) Выполним элементарное преобразование 3^о.

К i - омууравнению системы (1. 2) прибавим почленно j - ое уравнение системы (1. 2):

,

умноженное на число μ. В преобразованной системе линейных уравнений, которую обозначим (1. 5), i - ое уравнение будет таким: (1.5).

Если ( – решение системы (1. 2), то и решение i -го и j -го уравнений системы (1. 2):

(1. 6),

(1. 7)

К левой части равенства (1. 6) прибавим почленно левую часть равенства (1. 7), умноженную на μ.

Это означает, что набор чисел ( – решение i -огоуравнения системы (1. 5) и всех ее остальных уравнений, которые такие же, как в системе (1. 2).

Всякое решение системы (1. 2) является решением системы (1. 5) и обратно, всякое решение системы (1. 5) является решением системы (1. 2), так как, если к i - омууравнению системы (1. 5) прибавить j - ое уравнение, умноженное на μ, то получим систему (1. 2).

Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях 2^о и 1^о система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Ясно, что и многократное применение элементарных преобразований данную систему линейных уравнений переводит в эквивалентную.

Может случиться, что после выполнения элементарных преобразований в системе (1. 2) может появиться уравнение вида (1. 8), в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю. Решением такого уравнения является любая совокупность чисел (. Отбросив это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной.

Кроме того, может появиться уравнение вида (1. 9),

в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. При любых значениях неизвестных левая часть такого уравнения равна нулю, а правая часть не равна нулю. Поэтому уравнение вида (1. 9) не имеет решений. Будем называть уравнение вида (1. 9) противоречивым.

Если после выполнения элементарных преобразований появится противоречивое уравнение, то это означает, что полученная система, так же как и эквивалентная ей исходная система, несовместна.