Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

1. Пусть базис системы векторов (II). Предположим, что нетривиальный набор чисел является решением однородной системы уравнений

(4.11)

т.е.

Сохраняя это равенство, добавим в его левую часть слагаемые равные нулю

Из этого равенства следует, что набор чисел является решением уравнения (4.9), а также и уравнения (4.10) в силу их равносильности. Таким образом, имеем

или, отбрасывая нулевые слагаемые

Если, согласно предположению, набор чисел нетривиальный, то из последнего равенства будет следовать линейная зависимость векторов. Получили противоречие, так как векторы образуют базис системы векторов (II) и являются линейно независимыми. Следовательно, только тривиальный набор чисел

Является решением однородной системы (4.11), что означает линейную независимость векторов

2. Пусть известно разложение

Перепишем это разложение в виде

откуда получаем, что набор чисел является решением однородной системы (4.9), т.е.

откуда имеем разложение

Мы доказали, что векторы линейно независимы и каждый вектор системы (I) разлагается по этим векторам.

Согласно определению, векторы образуют базис системы (I). Коэффициенты разложений соответствующих векторов системы (I) и системы (II) по своим базисам совпадают.

Пример

Найти ранг и базис системы векторов

Решение

Запишем систему однородных уравнений

Перейдем от векторной к координатной форме записи этой однородной системы уравнений.

Методом Жордана-Гаусса преобразуем эту систему в равносильную ей разрешенную систему. Свободные члены всех уравнений равны нулю, поэтому их не будем записывать, поскольку в процессе преобразований они не изменяются.

Из последней таблицы выпишем разрешенную систему уравнений, равносильную исходной

Единичные векторы образуют базис системы векторов

Согласно доказанной теореме, соответствующие векторы являются базисом данной системы векторов.

Ранг системы векторов равен числу векторов в базисе, т.е.

Выпишем разложения векторов и по базису

или

или

Коэффициенты разложений векторов и по базису как доказано в теореме, будут такими же как коэффициенты разложений векторов и по базису

или

или

Глава 5. Системы линейных уравнений

Исследование системы m уравнений с n неизвестными

Теорема 1

Если к системе векторов (I) добавить или из нее исключить вектор, выражающийся линейно через векторы системы (I), то ранг системы векторов не изменится.