Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение 1

Система векторов a₁, a₂, …, a_n называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору θ.

Определение 2

Система векторов a₁, a₂, …, a_n называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна налевому вектору θ.

Пример

Выяснить, являются ли следующие векторы линейно зависимыми.

1. a₁ = (2, –2, –4), a₂ = (1, 9, 3), a₃ = (–2, –4, 1), a₄ = (3, 7, –1).

Решение

Составим векторное уравнение

k₁a₁ + k₂a₂ + k₃a₃ + k₄a₄ = θ (*)

Приравняв соответствующие координаты векторов в левой и правой частях этого равенства, получим систему трех уравнений, равносильную векторному уравнению

2k₁ + k₂ – 2k₃ + 3k₄ = 0

–2k₁ + 9k₂ – 4k₃ + 7k₄ = 0

–4k₁ + 3k₂ + k₃ – k₄ = 0

В этой однородной системе уравнений относительно неизвестных k₁, k₂, k₃, k₄ число уравнения m = 3 меньше числа неизвестных n = 4. Поэтому кроме тривиального этого система имеет также ненуливые решения (k₁, k₂, k₃, k₄), где хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля. Следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация данных векторов a₁, a₂, a₃, a₄ (*), равная нулевому вектору. Поэтому векторы a₁, a₂, a₃, a₄ линейно зависимы.

Отметим, что и в общем случае вопрос о линейной зависиости векторов a₁, a₂, …, a_n сводится к вопросу о существовании ненулевого решения у однородной системы уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

2. a₁ = (2, –3, 1), a₂ = (3, –1, 5), a₃ = (1, –4, 3).

Решение

Составим однородную систему уравнений с коэффициентами, равными соответствующим координатам данных векторов.

2k₁ + 3k₂ + k₃ = 0,

–3k₁ – k₂ – 4k₃ = 0,

k₁ + 5k₂ + 3k₃ = 0

Вычислим определитель этой системы уравнений

Так как определитель этой однородной системы уравнений отличен от нуля, то система имеет только тривиальное решение k₁ = k₂ = k₃ = 0. Следовательно, только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору и, поэтому, векторы a₁, a₂, a₃ линейно независимы.

Таким образом, в случае n заданных векторов в пространстве Rⁿ критерием линейной независимости их служит неравенство нулю определителя, составленного их координат этих векторов.

3. a₁ = (1, –1, 1, –1); a₂ = (1, 0, 2, 0); a₃ = (1, –5, –1, 2);

a₄ = (3, –6, 2, 1).

Решение

Эти векторы линейно зависимы, так как связаны соотношением

a₁ + a₂ + a₃ – a₄ = θ,

в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Мы указали нетривиальную линейную комбинацию данных векторов, равную нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

Теорема 1

Если среди векторов a₁, a₂, …, a_n есть хотя бы один нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Доказательство

Пусть, для определенности, вектор, т.е. нулевой вектор, а остальные векторы любые. Тогда равенство

справедливо при, что доказывает линейную зависимость данных векторов.