Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Исследование и решение системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса.

Система линейных уравнений называется разрешенной, если каждое ее уравнение содержит разрешенную неизвестную.

Например, разрешенной будет система уравнений

Сущность метода Жордана – Гаусса заключается в том, что при помощи конечного числа элементарных преобразований система линейных уравнений переводится в эквивалентную ей разрешенную систему или эквивалентную ей несовместную систему.

Процесс решения состоит из ряда последовательных этапов расчета. После выполнения каждого этапа система линейных уравнений становится разрешенной относительно какого-либо неизвестного.

Процесс преобразований закончится после очередного этапа в следующих двух случаях:

— мы придем к системе, содержащей уравнение вида (1.9), т. е. вида 0 = b, b ≠ 0, и, тем самым, установим несовместность исходной системы (1.2);

— получим разрешенную систему уравнений, эквивалентную исходной системе (1.2).

Число уравнений в разрешенной системе r ≤ m (число уравнений в системе (1. 2), так как некоторые уравнения мы, возможно, отбросили.

Очевидно также, что число уравнений в разрешенной системе не больше числа неизвестных, т. е. r ≤ n.

1) При r = n разрешенная система имеет вид

x₁ = h₁,

x₂ = h₂, (1.13)

………

x_n = h_n

Система (1.13), а также равносильная ей система (1.2), имеют единственное решение (h₁, h₂, …, h_n), т. е. являются совместными и определенными.

2) При r < n разрешенная система состоит из r уравнений и имеет вид

x₁ + a_{1 r + 1}x_{r + 1} + … + a_1nx_n = b₁,

x₂ + a_{2 r + 1}x_{r + 1} + … + a_2nx_n = b₂, (1.14)

…………………………………

x_r + a_{r(r + 1)}x_{r + 1} + … + a_rnx_n = b_r

В системе (1.14) неизвестные x₁, x₂, …, x_r составляют набор разрешенных неизвестных, остальные неизвестные x_{r + 1}, x_{r + 2}, …, x_n называются свободными.

Возьмем для свободных неизвестных произвольные числовые значения x_{r + 1} = k_{r + 1}, x_{r + 2} = k_{r + 2}, …, x_n = k_n.

Подставив их в систему (1.14), вместо соответствующих неизвестных, найдем значения для разрешенных или базисных неизвестных:

k₁ = b₁ – a_{1 r + 1}k_{r + 1} – … – a_1nk_n,

k₂ = b₂ – a_{2 r + 1}k_{r + 1} – … – a_2nk_n,

…………………………………

k_r = b_r – a_{r(r + 1)}k_{r + 1} – … – a_rnk_n

Легко проверить, что набор чисел k₁, k₂, …, k_r, k_{r + 1}, …, k_n является решением системы (1.14) и, следовательно, равносильной ей системы (1.2). Так как свободным неизвестным можно придавать произвольные числовые значения, то таким образом можно найти бесконечное множество решений системы (1.2). В случае r < n система (1.2) является совместной, но неопределенной. Каждое решение такой системы называется ее частным решением. Выражения базисных неизвестных через свободные (1.15)

x₁ = b₁ – a_{1 r+ 1}x_{r + 1} – … – a_1nx_n

x₂ = b₂ – a_{2 r+ 1}x_{r + 1} – … – a_2nx_n

………………………………… (1.15)

x_r = b_r – a_{r r + 1}x_{r + 1} – … – a_rnx_n

называется общим решением системы (1.14) и, значит, системы (1.2). Среди частных решений системы выделяют базисное, которое получается при нулевых значениях всех свободных неизвестных x₁ = b₁, x₂ = b₂, …, x_r = b_r, x_{r + 1} = 0, …, x_n = 0.

Из всего сказанного можно сделать следующие выводы.

Система линейных уравнений будет несовместной, если при выполнении этапов преобразований по методу Жордана – Гаусса мы получим противоречивое уравнение, если же такого уравнения мы не получим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если она приводится к разрешенной системе, в которой число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если в разрешенной системе число уравнений меньше числа неизвестных.