Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

Ввиду свойства 2 после перестановки этих двух строк определитель det A изменит знак и станет равным числу (–det A). С другой стороны, так как переставляются одинаковые строки, то определитель на самом деле не меняется.

Т. е. мы имеем det A = –det A, откуда det A = 0.

Свойство 5

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца) равна нулю, т. е.

(2.14)

если i ≠ k.

Доказательство

Согласно (2.9), есть определитель, у которого на месте элементов k -ой строки стоят элементы i -ой строки. Но тогда этот определитель имеет одинаковые i -ю и k -ю строки. По свойству 4 такой определитель равен нулю.

Свойство 6

Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство

Вычислим определитель разложением по элементам нулевой строки. Тогда в формуле (2.9) все множители a_ij = 0 и, следовательно,

det A = 0.

Свойство 7

Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Доказательство

Пусть элементы i -ой строки определителя имеют общий множитель λ, т. е. a_ij = λa′_ij.

Разложим определитель по элементам этой строки:

Свойство 8

Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых

a_ij = a′_ij + a′′_ij, 1 ≤ j ≤ n,

то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -ой – такие же, как в данном определителе, а i -ая строка в одном из определителей состоит из элементов a′_ij, в другом – из элементов a′′_ij.

Доказательство

Разложим данный определитель по элементам i -ой строки.

Таким образом, действительно

Свойство 9

Если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число, то определитель не изменится.

Доказательство

Прибавим к элементам i -ой строки определителя

элементы k -ой строки, умноженные на число λ и разложим преобразованный определитель по элементам i -ой строки. Тогда получим

так как вторая сумма по свойству 5 равна нулю.

Замечание

Свойство 9 позволяет в любой строке или столбце определителя заменить нулями все элементы, кроме одного.

Пусть элемент i -ой строки a_ik ≠ 0. Тогда, чтобы любой элемент i -ой строки a_ij, j ≠ k, заменить нулем, нужно из j -го столбца вычесть k -ый столбец, умноженный на. Тогда, согласно формуле (2.9) вычисление данного определителя порядка n сведется к вычислению одного определителя порядка (n – 1).

Примеры

1. Не раскрывая определитель, доказать справедливость следующих равенств:

а)