Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (5.2) называется ее фундаментальной системой решений.

Условия существования фундаментальной системы решений устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если ранг r матрицы системы линейных однородных уравнении (5.2) меньше числа неизвестных n, то фундаментальная система решений системы уравнений (5.2) существует и состоит из n – r решений.

Доказательство. Преобразуем систему (5.2) в равносильную разрешенную систему уравнений. Она содержит r уравнений, поскольку r(A) = r.

Согласно условию, число свободных неизвестных в системе (5.2) равно n – r. Пусть свободными неизвестными будут неизвестных x_{r + 1}, x_{r + 2}, …, x_n. Тогда общее решение системы уравнений (5.2) будет иметь вид

e₁x₁ + e₂x₂ + … + e_rx_r = –a_{r + 1}x_{r + 1} – … – a_nx_n

Мы знаем, (теорема 3 из §2 гл. 5), что, задав значения свободных неизвестных, мы получим однозначно определенные значения базисных неизвестных x₁, x₂, …, x_r и, таким образом, получим вполне определенное решение системы уравнений (5.2).

Найдем n – r решений системы (5.2), задав следующие n – r наборов значений для свободных неизвестных

x_{r + 1} = 1, x_{r + 2} = 0, …, x_n = 0

x_{r + 1} = 0, x_{r + 2} = 1, …, x_n = 0

………………………………

x_{r + 1} = 0, x_{r + 2} = 0, …, x_n = 1

Отметим, что в наборе с номером i, i = 1, 2, …, n – r, только одно свободное неизвестное x_{r + i} = 1, а все остальные равны нулю.

Подставим каждый из этих наборов в общее решение системы (5.2). Получим n – r частных решений системы (5.2) вида

f₁ = (………, 1, 0, …, 0),

f₂ = (………, 0, 1, …, 0),

…………………………

f_{n – r} = (………, 0, 0, …, 1)

Мы не выписываем первые r координат этих векторов, поскольку для доказательства теоремы их мы не используем.

Докажем, что найденные нами векторы f₁, f₂, …, f_{n – r} являются фундаментальной системой решений системы уравнений (5.2).

Прежде всего, эта система векторов линейно независимая. Покажем это.

Пусть k₁f₁ + k₂f₂ + … + k_{n – r}f_{n – r} = θ (5.4)

Так как

k₁f₁ + k₂f₂ + … + k_{n – r}f_{n – r} = k₁·(………, 1, 0, …, 0) +

+ k₂·(………, 0, 1, …, 0) + … + k_{n – r}·(………, 0, 0, …, 1) =

= (………, k₁, 0, …, 0) + (………, 0, k₂, …, 0) + … +

+ (………, 0, 0, …, k_n) = (………, k₁, k₂, …, k_{n – r}),

то k₁ = k₂ = … = k_{n – r} = 0, поскольку из равенства (5.4) следует, что все координаты вектора k₁f₁ + k₂f₂ + … + k_{n – r}f_{n – r} равны нулю.

Мы показали, что только тривиальная линейная комбинация

k₁f₁ + k₂f₂ + … + k_{n – r}f_{n – r} равна нулевому вектору, поэтому векторы

f₁, f₂, …, f_{n – r} линейно независимы.

С другой стороны пусть вектор L = ( ………, l₁, l₂, …, l_{n – r}) есть произвольное

решение системы уравнений (5.2).

Докажем, что вектор L линейно выражается через векторы f₁, f₂, …, f_{n – r}.

Рассмотрим вектор

K = l₁f₁ + l₂f₂ + … + l_{n – r}f_{n – r} = l₁( ………, 1, 0, …, 0) +

+ l₂ ( ………, 0, 1, …, 0) + … + l_{n – r}( ………, 0, 0, …, 1) =

= ( ………, l₁, l₂, …, l_{n – r})

Вектор K, являясь линейной комбинацией решений системы уравнений (5.2), сам будет решением этой системы.

Решения L и K имеют одни и те же базисные неизвестные x₁, x₂, …, x_r, а

n – r свободных неизвестных у них совпадают.

Поэтому совпадают и решения L и K, т. е.

L = K = l₁f₁ + l₂f₂ + … + l_{n – r}f_{n – r}

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений.