Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

Пусть существует два разложения вектора данной системы векторов по базису

Вычтем из первого разложения втрое.

Так как только тривиальная линейная комбинация линейно независимых векторов равна нулевому вектору, то все коэффициенты линейной комбинации в правой части последнего равенства равны нулю, т.е.. Эти, единственным образом определяемые коэффициенты разложения вектора системы по базису системы векторов называются координатами вектора в этом базисе.

Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств. Любые три некомпланарных вектора, как известно из аналитической геометрии, образуют базис в линейном пространстве R³.

В n -мерном векторном пространстве Rⁿ примером базиса служит система единичных векторов этого пространства

Отметим, что у каждого такого вектора, только i -я координата равна единицы, а все остальные координаты равны нулю. Система единичных векторов линейно независима.

Действительно, линейная комбинация этих векторов

, равная вектору будет нулевым вектором лишь при условии

Каждый вектор может быть представлен в виде

Проверим это, выполнив действия в правой части равенства.

Таким образом, мы установили, что векторы линейно независимые и каждый вектор разлагается по этим векторам.

Это доказывает, что система единичных векторов является базисом в пространстве Rⁿ.

Числа являются координатами вектора в этом базисе.

Примеры

1. Записать разложение вектора по базису из единичных векторов.

Решение

Коэффициентами разложения являются координаты вектора

2. Разложить вектор по базису четырехмерного пространства, который образуют следующие четыре вектора

Решение

Разложение вектора по базису имеет вид

Требуется найти коэффициенты этого разложения.

Перейдем от векторного равенства к равенствам между соответствующими координатами векторов в левой и правой части этого равенства.

Систему линейных уравнений относительно неизвестных решим методом Жордана-Гаусса

Из последней таблицы выписываем решение системы уравнений

Теперь запишем разложение вектора по базису

или

Определение

Линейно независимую часть системы векторов будем называть максимальной линейно независимой частью этой системы, если ее нельзя расширить с сохранением линейной независимости, т.е. если добавить к этой части любой вектор данной системы, то уже получится линейно зависимая система векторов.