Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ренты, выплачиваемые p раз: текущие стоимости и накопления.

Если и - положительные целые, - стоимость в момент 0 ренты, выплачиваемой раз по ставке 1 в единицу времени на временном интервале [0; ]. Для этой ренты платежи делаются в моменты времени , и сумма каждого платежа составляет .

По определению, ряд из выплат, каждая по , в пределах подинтервалов из любого единичного интервала имеют ту же стоимость, что и единственная выплата суммы в конце единичного интервала. По пропорции, выплат, каждая суммой в пределах подинтервалов имеет ту же стоимость, что и единственная выплата суммы в конце интервала.

Рассмотрим ренту, для которой текущая стоимость составляет .

Замечания предыдущего параграфа показывают, что выплат после момента и не позже момента имеют ту же стоимость, что и выплата единственной суммы в момент . Это верно для потому как рента имеет ту же стоимость, как и ряд из выплат, каждая размером в моменты 1, 2, …, . Это означает, что

. (1)

Альтернативно, из первых принципов мы должны записать

, (2)

что подтверждает (4.2.1).

Аналогично мы определим текущую стоимость annuity-due, выплачиваемую раз по ставке 1 в единицу времени на временном интервале [0; ]. Платежи по ренте, каждый по , делаются в моменты . Аналогично предыдущим рассуждениям:

. (3)

Из первых принципов имеем

. (4)

Заметим, что

.

Комбинируя (4.2.1) и (4.2.3), получаем:

. (5)

Так как , то из (4.2.2) и (4.2.4) следует:

.

Подобным образом определяем и - накопления, соответствующие и .

(6)

(7)

Выше приведённые пропорции могут быть применены и к другим рядам. Пусть, например, рента выплачивается ежегодно в течение лет, платеж за год составляет . Текущая стоимость этой ренты

. (8)

Рассмотрим другую ренту, также выплачиваемую лет с платежом в год , но платежи делаются раз в год. Если через обозначить текущую стоимость этой ренты, заменяя выплат для года (каждая по ) единственной эквивалентной выплатой в конце года размером , получим

,

где - определяется (4.2.8).

Рента, выплачиваемая раз в интервале, для которой платежи продолжаются бесконечно, называется вечно выплачиваемой раз. Когда ставка постоянна и равна 1 за единицу времени, то эта величина обозначается . Если платежи делаются авансом, то мы имеем perpetuity-due .

(9)

Если в (4.2.2) и (4.2.4) получаем ():

(10)

. (11)

Текущая стоимость, отложенная на временных единиц

(12)

Заметим, что если , то соответственно равны .